Поверхности второго порядка.(сфера,эллипсоид,однополосный и 2-х гиперболоид,гиперб.парабалоид,конус)

Поверхности второго порядка:

Сфера – это геометрическое место точек, равноудалённых от одной данной точки М_о на расстояние R.(эллипсоид у которого все три полуоси равны)

Возьмём на поверхности сферы произвольную точку С (x,y,z). Расстояние от точки С до точки М равно R, следовательно, .

,

то есть

или .

Полученное уравнение – это уравнение сферы с центром в точке радиуса R.

Раскроем скобки, получим

.

Итак, уравнение сферы – это уравнение второй степени относительно x,y,z. Но не всякому уравнению второй степени соответствует сфера в пространстве.

Каноническое уравнение сферы принято записывать в виде

x² + y² + z² = r²,

где r – величина полуосей, которая называется радиусом сферы. (! Без вывода)

Эллипсоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению

(1)

Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипсоида. Величины a, b, c суть полуоси эллипсоида (рис. 1). Если все они различны, эллипсоид называется трехосным; в случае, когда какие-нибудь две из них одинаковы, эллипсоид называется вытянутым, при a=b>c - сжатым. В случае, когда a=b=c, эллипсоид представляет собой сферу.

 

Однополостным гиперболоидом называется поверхность, заданная относительно специально выбранной системы координат своим уравнением x2/a2+y2/b2-z2/c2=1. Если точка с координатами (x, y, z) принадлежит однополостному гиперболоиду, то и точки (±x, ±y, ±z) при любом наборе + и - также принадлежат однополостному гиперболоиду, следовательно начало координат является центром симметрии однополостного гиперболоида, оси координат его главными осями, а координатные плоскости являются плоскостями симметрии — его главными плоскостями. Будем считать, что a≥b. Если a=b, то однополостный гиперболоид получается вращением гиперболы x2/a2-z2/c2=1 вокруг её мнимой оси (oz) и поверхность в этом случае называется однополостным гиперболоидом вращения. Вершинами однополостного гиперболоида называются точки пересечения поверхности с осями координат.

Каноническое уравнение:

a = b - однополостный гиперболоид вращения вокруг оси Oz.

Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, заданная относительно специально выбранной системы координат уравнением x2/a2+y2/b2-z2/c2=-1 (1). Если точка (x, y, z) принадлежит двуполостному гиперболоиду (1), то на этой поверхности лежит точка с координатами (±x, ±y, ±z) при любом наборе знаков, следовательно начало координат является центром двуполостного гиперболоида, координатные оси — осями симметрии, координатные плоскости — плоскостями симметрии. Вершинами двуполостного гиперболоида называются точки пересечения поверхности с осью oz (0, 0, ±c).

Каноническое уравнение:

a = b - двуполостный гиперболоид вращения вокруг оси Oz.

Гиперболическим параболоидом называется поверхность второго порядка, заданная относительно специально выбранной прямоугольной системы координат уравнением: x2/p-y2/q=2z, p, q>0, p≥q (1). Если точка с координатами (x, y, z) лежит на гиперболическом параболоиде, то точки с координатами (±x, ±y, ±z) при любом наборе знаков также лежат на этой поверхности. Следовательно, плоскости xoy и yoz являются плоскостями симметрии гиперболического параболоида, а сечения, образованные данными плоскостями с поверхностью называются главными сечениями. Ось oz является осью симметрии гиперболического параболоида, если p≠q. Если p=q, то гиперболический параболоид имеет еще две оси симметрии, заданные уравнениями y=x, z=0 и y=-x, z=0. Вершиной гиперболического параболоида называется пересечение поверхности с oz. В данном случае вершиной поверхности является точка O(0, 0, 0)

Каноническое уравнение:

Сечения гиперболического параболоида плоскостями - либо гипербола, либо парабола, либо пара прямых (прямолинейных образующих).

 

Конусом называется тело. которое состоит из круга - основание конуса,
точки, не лежащей в плоскости этого круга - вершины конуса,
и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания.
Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса.

Каноническое уравнение:

a = b - конус вращения (прямой круговой).

Сечения конуса плоскостями: в плоскости, пересекающей все прямолинейные образующие, - эллипс; в плоскости, параллельной одной прямолинейной образующей, - парабола; в плоскости, параллельной двум прямолинейным образующим, - гипербола; в плоскости, проходящей через вершину конуса, - пара пересекающихся прямых или точка (вершина).

 

20)Понятие матрицы.(определение,единичная матрица)Умножени матрицы.

Матрицей размера m на n (записывается так )называется совокупность mn вещественных (комплексных) чисел или элементов другой структуры (многочлены, функции и т.д.), записанных в виде прямоугольной таблицы, которая состоит из m строк и n столбцов и взятая в круглые или прямоугольные или в двойные прямые скобки. При этом сами числа называются элементами матрицы и каждому элементу ставится в соответствие два числа -номер строки и номер столбца.

Для обозначения матрицы используются прописные латинские буквы, при этом саму матрицу заключают в круглые или прямоугольные или в двойные прямые скобки.

Элементы матрицыобозначают строчными латинскими буквами, снабженными двумя индексами: - элемент матрицы, расположенный в i-й строке и j-м столбце или коротко элемент в позиции (i,j). В общем виде матрица размера m на n может быть записана следующим образом

- множество всех матриц размера m на n;

- матрица A с элементами в позиции (i,j);

- матрица размера m на n.

Элементы , где i=j, называются диагональными, а элементы , где - внедиагональными. Совокупность диагональных элементов , где k = min (m,n), называется главной диагональю матрицы.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается символом O.

Заметим, что для каждого размера существует своя нулевая матрица.

Матрица размера n на n называется квадратной матрицей n-го порядка, т.е. число строк равно числу столбцов.

Квадратная матрица называется диагональной, если все ее вне диагональные элементы равны нулю.

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны 1, называется единичной матрицей и обозначается символом I или E.

Произведением матрицы размеров на матрицу размеров называется матрица размеров , элементы которой вычисляются по формуле

Пример: Пусть даны две прямоугольные матрицы и размерности и соответственно: Тогда матрица размерностью называется их произведением: где: