Линейная оптимизационная задача

Рассмотрим задачу планирования производства. Фабрика выпускает два типа строительных материалов А и В. Продукция обоих видов поступает в продажу. Для производства материалов используется два исходных продукта: I и II. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 7 и 9 тонн соответственно. Расходы продуктов I и II на 1 тонну соответствующих материалов приведены в таблице3

Расход продуктов

Таблица3

 

Исходный продукт	Расход исходного продукта на 1т. материала	Максимально возможный запас, т
А	В
I
II

 

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на материал В не превышает спроса на материал А более чем на 1т. Кроме того, спрос на материал А не превышает 3т. в сутки. Оптовые цены одной тонны материалов равны: 4000 у.е. для материала В и 3000 у.е. для материала А. Какое количество материала каждого вида должна производить фабрика, чтобы доход от реализации был максимальным? Для решения этой задачи необходимо построить математическую модель.

РЕШЕНИЕ

1. Формулировка математической модели задачи:

· Переменные для решения задачи: X₁ – суточный обьем производства материала А;

· X₂ – суточный обьем производства материала B;

· определение функции цели (критерий оптимизации).Суммарная суточная прибыль от производства X₁ материала А и X₂ материала В равна:

F = 4000X₂ + 3000X₁

· поэтому цель фабрики – среди всех допустимых значений X₂ и X₁ найти такие, которые максимизируют суммарную прибыль от производства материалов F:

F = 4000X₂ + 3000X_{1 MAX}

Ограничения на переменные:

§ Обьем производства материалов не может быть отрицательным, т. е.: X₂ ≥ 0, X₁ ≥ 0;

§ Расход исходного продукты для производства обоих видов материалов не может превосходить максимально возможного запаса данного исходного продукта, т.е.:

2X₂ + 3X₁ ≤ 7;

3X₂ + 2X₁ ≤ 9.

§ Ограничения на величину спроса на материалы:

X₂ - X₁ ≤ 1;

X₁ ≤ 3.

Таким образом получаем математическую модель задачи:

· Найти максимум следующей функции:

F = 4000X₂ + 3000X_{1 MAX}

· При ограничениях вида:

2X₂ + 3X₁ ≤ 7;

3X₂ + 2X₁ ≤ 9;

X₂ – X₁≤ 1;

X₁ ≤ 3;

X₂ ≥0,≥ 0.

2. Переменные задачи X₂ ИX₁ поместим в ячейках С3 и С4. Целевая функция находится в ячейке С6 и содержит формулу:

= 4000 * С4 + 3000 * С3

Ограничения на задачу расположим в диапазоне ячеек С8:D11.

3. Воспользуемся командой Сервис - Поиск решения, вводим необходимые данные для рассматриваемой задачи (установка данных в окне поиск решения приведена на рис 12. Результат работы по поиску решения помещен на рис 13-14.

 

Рис 12. Рабочий лист MSExcel для решения задачи планирования производства материалов.

 

Рис.13.

Рис.14. Установка необходимых параметров задачи планирование материалов в окне Поиск решения.

 

 

Рис. 14. Результат расчета надстройки Поиск решения.

 

Описание отчетов о решении задачи.

1. Отчет по результатам приведен на рис.15. Таблица целевая ячейка выводит сведения о целевой функции; таблица изменяя ячейки показывает значения переменных, полученных в результате решения задачи; таблица ограничения отображает результаты оптимального решения для ограничений и для граничных условий. В поле формула приведены зависимости, которые были выведены в окно Поиск решения, в поле разница – величины используемого материала. Если материал используется полностью, то в поле статус указывается связанное, при неполном использовании материала в этом поле указывается несвязан.

2. Отчет по устойчивости приведен на рис. 16. – в таблице изменяемые ячейки приводится результат решения задачи. В таблице ограничения выводятся занчения для ограничений, при которых сохраняется оптимальный набор переменных, входящих в оптимальное решение.

3. Отчет по пределам приведен на рис. 17. – в отчете показано в каких пределах может изменяться количество материалов, вошедших в оптимальное решение, при сохранении структуры оптимального решения; приводятся значения переменных в оптимальном решении, а также нижние и верхние пределы изменения значений переменных, здесь также указаны значения целевой функции при выпуске данного типа продукции на верхнем и нижнем пределах.

 

Рис. 15.

 

 

Рис. 16.

 

Рис. 17.

ЗАДАНИЕ 1.

Фирма производит несколько видов продукции из одного и того же сырья - А, В, С. Реализация продукции А дает прибыль 10 руб., В – 15руб. и С – 0 руб. на единицу изделия.

Продукцию можно производить в любых количествах, поскольку известно, что сбыт обеспечен, но ограничены запасы сырья. Необходимо определить, какой продукции и сколько надо произвести, чтобы общая прибыль от реализации была максимальной. С помощью Поиска решения определите, какой продукции и сколько нужно произвести, чтобы общая прибыль была максимальной. Нормы расхода сырья на производство продукции каждого вида приведены. Создать отчеты о решении задачи (отчет по результатам, отчет по устойчивости, отчет по пределам).

 

Вариант 1

 

 

Вариант 2

 

Вариант 3

Вариант 4

 

 

Вариант 5

Вариант 6

Вариант 7

Вариант 8

Вариант 9

Вариант 10

ЗАДАНИЕ 2

Вариант 1

С двух пунктов сбора А и А требуется развести личный состав по трем объектам В , В , В таким образом, чтобы транспортные издержки были минимальны. Имеются данные о стоимости перевозок между сборными пунктами и объектами (табл.2). Также известно, что на пункте сбора А имеется 180 человек, на пункте сбора А - 260 человек. На объекты должны прибыть соответственно В - 100 человек, В - 120 человек, В - 220 человек.

Математическая формулировка задачи. Обозначим Х количество личного состава, перевозимого с пункта сбора I на объект J. Тогда критерием полного обеспечения В , В , В личным составом могут служить неравенства:

Х + Х ≥ 100, Х + Х ≥ 120, Х + Х ≥ 220.

Таблица4
Транспортные затраты на перевозку
Пункт сбора	Обьекты на перевозку одного лица
В1	В2	В3
А1
А2

Математическая формулировка задачи. Обозначим Х количество личного состава, перевозимого с пункта сбора I на объект J. Тогда критерием полного обеспечения В , В , В личным составом могут служить неравенства:

Х + Х ≥ 100, Х + Х ≥ 120, Х + Х ≥ 220.

Ограничения по возможностям сборных пунктов А , А будут неравенства:

Х + Х + Х ≤ 180, Х + Х + Х ≤ 260.

Целевая функция минимизации транспортных затрат имеет вид:

F = 20 ∙ Х + 20 ∙ Х + 30 ∙ Х + 30 ∙ Х + 40 ∙ Х + 20 ∙ Х → min.

Для решения задачи в Excel необходимо правильно поместить математическую модель по ячейкам электронной таблицы при этом целесообразно придерживаться таблицы заполнения ячеек (Табл2).

Сформировать описания отчетов о решении задачи.

 

Вариант 2

С двух пунктов сбора А и А требуется развести личный состав по трем объектам В , В , В таким образом, чтобы транспортные издержки были минимальны. Имеются данные о стоимости перевозок между сборными пунктами и объектами (табл.2). Также известно, что на пункте сбора А имеется 150 человек, на пункте сбора А - 170 человек. На объекты должны прибыть соответственно В - 100 человек, В - 120 человек, В - 120 человек..

 

Таблица4
Транспортные затраты на перевозку
Пункт сбора	Объекты на перевозку одного лица
В1	В2	В3
А1
А2

 

Математическая формулировка задачи. Обозначим Х количество личного состава, перевозимого с пункта сбора I на объект J. Тогда критерием полного обеспечения В , В , В личным составом могут служить неравенства:

Х + Х ≥ 100, Х + Х ≥ 120, Х + Х ≥ 120.

Ограничения по возможностям сборных пунктов А , А будут неравенства:

Х + Х + Х ≤ 150, Х + Х + Х ≤ 170.

Целевая функция минимизации транспортных затрат имеет вид:

F = 15 ∙ Х + 20 ∙ Х + 30 ∙ Х + 17 ∙ Х + 21 ∙ Х + 28 ∙ Х → min.

Для решения задачи в Excel необходимо правильно поместить математическую модель по ячейкам электронной таблицы, при этом целесообразно придерживаться таблицы заполнения ячеек (Табл2).

Сформировать описания отчетов о решении задачи.

 

 

Вариант 3

С двух пунктов сбора А и А требуется развести личный состав по трем объектам В , В , В таким образом, чтобы транспортные издержки были минимальны. Имеются данные о стоимости перевозок между сборными пунктами и объектами (табл.4). Также известно, что на пункте сбора А имеется 200 человек, на пункте сбора А - 150 человек. На объекты должны прибыть соответственно В - 50 человек, В - 130 человек, В - 170 человек..

 

Таблица4
Транспортные затраты на перевозку
Пункт сбора	Объекты на перевозку одного лица
В1	В2	В3
А1
А2

 

 

Математическая формулировка задачи. Обозначим Х количество личного состава, перевозимого с пункта сбора I на объект J. Тогда критерием полного обеспечения В , В , В личным составом могут служить неравенства:

Х + Х ≥ 50, Х + Х ≥ 130, Х + Х ≥ 170.

Ограничения по возможностям сборных пунктов А , А будут неравенства:

Х + Х + Х ≤ 200, Х + Х + Х ≤ 150.

Целевая функция минимизации транспортных затрат имеет вид:

F = 18 ∙ Х + 21 ∙ Х + 29 ∙ Х + 15 ∙ Х + 20 ∙ Х + 30 ∙ Х → min.

Для решения задачи в Excel необходимо правильно поместить математическую модель по ячейкам электронной таблицы, при этом целесообразно придерживаться таблицы заполнения ячеек (Табл2).

Сформировать описания отчетов о решении задачи.

 

Вариант 4

С двух пунктов сбора А и А требуется развести личный состав по трем объектам В , В , В таким образом, чтобы транспортные издержки были минимальны. Имеются данные о стоимости перевозок между сборными пунктами и объектами (табл.2). Также известно, что на пункте сбора А имеется 240 человек, на пункте сбора А - 310 человек. На объекты должны прибыть соответственно В - 75 человек, В - 125 человек, В - 350 человек..

 

Таблица4
Транспортные затраты на перевозку
Пункт сбора	Объекты на перевозку одного лица
В1	В2	В3
А1
А2

 

Математическая формулировка задачи. Обозначим Х количество личного состава, перевозимого с пункта сбора I на объект J. Тогда критерием полного обеспечения В , В , В личным составом могут служить неравенства:

Х + Х ≥ 75, Х + Х ≥ 125, Х + Х ≥ 350.

Ограничения по возможностям сборных пунктов А , А будут неравенства:

Х + Х + Х ≤ 240, Х + Х + Х ≤ 310.

Целевая функция минимизации транспортных затрат имеет вид:

F = 25 ∙ Х + 29 ∙ Х + 33 ∙ Х + 28 ∙ Х + 32 ∙ Х + 40 ∙ Х → min.

Для решения задачи в Excel необходимо правильно поместить математическую модель по ячейкам электронной таблицы при этом целесообразно придерживаться таблицы заполнения ячеек (Табл2).

Сформировать описания отчетов о решении задачи.

 

Вариант 5.

С двух пунктов сбора А и А требуется развести личный состав по трем объектам В , В , В таким образом, чтобы транспортные издержки были минимальны. Имеются данные о стоимости перевозок между сборными пунктами и объектами (табл.4). Также известно, что на пункте сбора А имеется 177 человек, на пункте сбора А - 223 человек. На объекты должны прибыть соответственно В - 200 человек, В - 100 человек, В - 100 человек..

 

Таблица4
Транспортные затраты на перевозку
Пункт сбора	Объекты на перевозку одного лица
В1	В2	В3
А1
А2

 

Математическая формулировка задачи. Обозначим Х количество личного состава, перевозимого с пункта сбора I на объект J. Тогда критерием полного обеспечения В , В , В личным составом могут служить неравенства:

Х + Х ≥ 200, Х + Х ≥ 100, Х + Х ≥ 100.

Ограничения по возможностям сборных пунктов А , А будут неравенства:

Х + Х + Х ≤ 177, Х + Х + Х ≤ 223.

Целевая функция минимизации транспортных затрат имеет вид:

F = 18 ∙ Х + 21 ∙ Х + 29 ∙ Х + 15 ∙ Х + 20 ∙ Х + 30 ∙ Х → min.

Для решения задачи в Excel необходимо правильно поместить математическую модель по ячейкам электронной таблицы при этом целесообразно придерживаться таблицы заполнения ячеек (Табл2).

Сформировать описания отчетов о решении задачи.

 

 

Вариант 6

С двух пунктов сбора А и А требуется развести личный состав по трем объектам В , В , В таким образом, чтобы транспортные издержки были минимальны. Имеются данные о стоимости перевозок между сборными пунктами и объектами (табл.4). Также известно, что на пункте сбора А имеется 270 человек, на пункте сбора А - 230 человек. На объекты должны прибыть соответственно В - 125 человек, В - 225 человек, В - 150 человек..

 

Таблица4
Транспортные затраты на перевозку
Пункт сбора	Объекты на перевозку одного лица
В1	В2	В3
А1
А2

 

Математическая формулировка задачи. Обозначим Х количество личного состава перевозимого с пункта сбора I на объект J. Тогда критерием полного обеспечения В , В , В личным составом могут служить неравенства:

Х + Х ≥ 125, Х + Х ≥ 225, Х + Х ≥ 150.

Ограничения по возможностям сборных пунктов А , А будут неравенства:

Х + Х + Х ≤ 270, Х + Х + Х ≤ 230.

Целевая функция минимизации транспортных затрат имеет вид:

F = 15 ∙ Х + 20 ∙ Х + 30 ∙ Х + 17 ∙ Х + 21 ∙ Х + 28 ∙ Х → min.

Для решения задачи в Excel необходимо правильно поместить математическую модель по ячейкам электронной таблицы, при этом целесообразно придерживаться таблицы заполнения ячеек (Табл2).

Сформировать описания отчетов о решении задачи.

 

Вариант 7

С двух пунктов сбора А и А требуется развести личный состав по трем объектам В , В , В таким образом, чтобы транспортные издержки были минимальны. Имеются данные о стоимости перевозок между сборными пунктами и объектами (табл.4). Также известно, что на пункте сбора А имеется 60 человек, на пункте сбора А - 100 человек. На объекты должны прибыть соответственно В - 50 человек, В - 60 человек, В - 50 человек..

 

Таблица4
Транспортные затраты на перевозку
Пункт сбора	Объекты на перевозку одного лица
В1	В2	В3
А1
А2

 

Математическая формулировка задачи. Обозначим Х количество личного состава, перевозимого с пункта сбора I на объект J. Тогда критерием полного обеспечения В , В , В личным составом могут служить неравенства:

Х + Х ≥ 50, Х + Х ≥ 60, Х + Х ≥ 50.

Ограничения по возможностям сборных пунктов А , А будут неравенства:

Х + Х + Х ≤ 60, Х + Х + Х ≤ 100.

Целевая функция минимизации транспортных затрат имеет вид:

F = 18 ∙ Х + 21 ∙ Х + 29 ∙ Х + 15 ∙ Х + 20 ∙ Х + 30 ∙ Х → min.

Для решения задачи в Excel необходимо правильно поместить математическую модель по ячейкам электронной таблицы при этом целесообразно придерживаться таблицы заполнения ячеек (Табл2).

Сформировать описания отчетов о решении задачи.

 

Вариант 8

С двух пунктов сбора А и А требуется развести личный состав по трем объектам В , В , В таким образом, чтобы транспортные издержки были минимальны. Имеются данные о стоимости перевозок между сборными пунктами и объектами (табл.4). Также известно, что на пункте сбора А имеется 180 человек, на пункте сбора А - 260 человек. На объекты должны прибыть соответственно В - 100 человек, В - 120 человек, В - 220 человек..

 

 

Таблица4
Транспортные затраты на перевозку
Пункт сбора	Объекты на перевозку одного лица
В1	В2	В3
А1
А2

 

Математическая формулировка задачи. Обозначим Х количество личного состава, перевозимого с пункта сбора I на объект J. Тогда критерием полного обеспечения В , В , В личным составом могут служить неравенства:

Х + Х ≥ 100, Х + Х ≥ 120, Х + Х ≥ 220.

Ограничения по возможностям сборных пунктов А , А будут неравенства:

Х + Х + Х ≤ 180, Х + Х + Х ≤ 260.

Целевая функция минимизации транспортных затрат имеет вид:

F = 15 ∙ Х + 20 ∙ Х + 30 ∙ Х + 30 ∙ Х + 40 ∙ Х + 50 ∙ Х → min.

Для решения задачи в Excel необходимо правильно поместить математическую модель по ячейкам электронной таблицы при этом целесообразно придерживаться таблицы заполнения ячеек (Табл2).

Сформировать описания отчетов о решении задачи.

 

Вариант 9.

С двух пунктов сбора А и А требуется развести личный состав по трем объектам В , В , В таким образом, чтобы транспортные издержки были минимальны. Имеются данные о стоимости перевозок между сборными пунктами и объектами (табл.4). Также известно, что на пункте сбора А имеется 177 человек, на пункте сбора А - 223 человек. На объекты должны прибыть соответственно В - 200 человек, В - 100 человек, В - 100 человек..

 

 

Таблица4
Транспортные затраты на перевозку
Пункт сбора	Объекты на перевозку одного лица
В1	В2	В3
А1
А2

 

Математическая формулировка задачи. Обозначим Х количество личного состава, перевозимого с пункта сбора I на объект J. Тогда критерием полного обеспечения В , В , В личным составом могут служить неравенства:

Х + Х ≥ 200, Х + Х ≥ 100, Х + Х ≥ 100.

Ограничения по возможностям сборных пунктов А , А будут неравенства: