Моделювання процесів і апаратів. Аналогії. Типи моделей.

Моделювання – метод дослідження існуючого або реального об’єкту, коли замість нього вивчається модель. Основні результати, які можуть бути прогнозовані для реального промислового об’єкту.

Основні етапи системного дослідження процесу:

1. Змістовний і якісний аналіз об’єкту.

2. Формалізація знань елементів процесу та їх взаємодія, знання у вигляді математичних моделей.

3. Математичне моделювання як метод дослідження моделей.

Вирішування математичної моделі включає такі етапи;

1) Математичний опис процесу.

2) Методика розв’язання рівнянь математичного опису.

3) Алгоритм рішення

4) Програма рішення процесу.

Методи моделювання основані на подібності різних об’єктів. Подібними називають такі об’єкти, у яких відповідні параметри показують стан такого об’єкту у просторі і часі. . До моделювання висувають такі вимоги: експеримент на моделі повинен проводитися швидше, простіше, зручніше, економніше; повинні бути відомі однозначні правила і алгоритми, за якими проводиться розрахунок параметрів оригіналу і моделі; структура, обладнання і призначення моделі повинні відповідати основним цілям моделювання, тому що жодна модель не здатна відобразити оригінал. Знакова модель складається з математичних залежностей, які об’єднують фізико-хімічні режими і конструктивні параметри. Знакові моделі містять математичний опис процесу і називаються математичними. Фізична модель має однакову з досліджуваним об’єктом фізичну природу і відтворює його властивості. Аналогова модель – основана на відповідності математичного описання різної природи процесу і відтворює аналогію між законами, що описують цей процес. Реальна математична модель є універсальним пристроєм, що відтворює математичні дії над закодованими величинами процесу незалежно від його стану. Числова подібність процесу називається однорідністю. Процеси, що протікають одночасно в моделі і в оригіналі апарату,називаються синхронними. Інваріанти подібності – константи, числові значення, які не мають розмірів. Якщо інваріанти подібності показують відношення різних фізичних і геометричних величин, то вони називаються критеріями подібності. Подібними називаються системи, в яких протікають процеси однакової природи і в яких однойменні величини, що характеризуються явищем, відносяться між собою як постійні величини. Теорія подібності відповідає на питання, як необхідно ставити досліди і обробляти результати для того, щоб їх можна було перенести на різні явища цього процесу.

Перша теорема (за Ньютоном), стверджує, що для двох подібних систем відповідні критерії будуть рівними:

Інваріанта подібності познач. j

=idem

Перша теорема показує досліднику, що в дослідах слід вимірювати з максимально доступною точністю ті фізичні величини, що входять до критеріїв подібності.

Друга теорема, (Федермана - Бекінгема) звучить так: кількісні результати дослідів потрібно представляти у вигляді рівнянь, що виражають залежність між критеріями подібності процесу, що досліджують.

критерій к показує величини, які необхідно визначити досліднику, які залежать від к₁, к₂, к₃. Такі рівняння називаються узагальненими перемінними або критеріальними рівняннями.

Третя теорема (Кирпичова та Гухмана), стверджує, що подібні ті явища та системи, які описуються однаковими рівняннями зв’язку та умови однозначності яких подібні. Явища подібні, якщо їх визначальні критерії чисельно рівні. Третя теорема відповідає на питання, що необхідно та достатньо здійснити для того, щоб модель була дійсно подібна об’єкту.

П - теорема була доведена Букінгемом

Якщо є повне спiввiдношення між фізичними величинами

j(x₁, x₂,..., x_m) = 0, то в такій самій системі основних величин можна знайти спiввiдношення, яке має вигляд Ф(П1, П2,..., Пn) = 0

де Пj (j=1,...n)незалежнi безрозмiрнiсні величини (П-комплекси), що являють собою добутки степенiв аргументiв xi. Число n дорiвнює

n = m – k

де k - максимально можлива кількість величин xi, з яких не можна створити безрозмiрнісну величину. Такi величини мають незалежнi розмiрностi.