Функции нескольких переменных.

Функции нескольких переменных.

Дифференциальное и интегральное исчисление.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ И

ВАРИАНТЫ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

для студентов дневного отделения

факультета математики

Часть 5

 

 

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ

 

Печатается по решению кафедры математического анализа и РИСа РГПУ им. А.И. Герцена

 

 

Методическое пособие предназначено для студентов дневного отделения 1-3 курсов математического факультета РГПУ им. А.И. Герцена.

В соответствии с программой по математическому анализу пособие включает в себя 28 различных вариантов домашних индивидуальных контрольных работ по темам «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных», «Кратные интегралы и их приложения». Перед вариантами контрольных работ приведены некоторые теоретические сведения и разобраны примеры, решение которых сопровождается методическими указаниями к ним.

Материал пособия может быть использован для проведения практических занятий, контрольных и проверочных работ на естественнонаучных факультетах высших учебных заведений.

 

Авторы-составители: кандидат ф.-м.н., доцент Т.Е. Звягинцева,

Старший преподаватель О.С. Корсакова,

кандидат ф.-м.н., ассистент К.Г. Межевич

 

 

Рецензент: зав.каф. матем. анализа РГПУ им. А.И. Герцена,

профессор В.Д. Будаев

 

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Бохан К.А., Егорова И.А., Лащенов К.В. Курс математического анализа. М.: Просвещение, 1972, т.1,2.

2. Виленкин Н.Я. и др. Задачник по курсу математического анализа. - М.: Просвещение, 1971. Ч.1,2.

3. Кузнецов А.А. Сборник заданий по высшей математике. М.: Высшая школа, 1983.

4. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. М.: Высшая школа, 1988. Т. 1,2.

5. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу. Функции нескольких переменных. С.-Пб, 1994.

6. Поволоцкий А.И., Лихтарников Л.М. Метрические пространства. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Учебное пособие / ЛГПИ им. А.И. Герцена.-Л., 1985.

7. Поволоцкий А.И., Лихтарников Л.М. Интегральное исчисление функций нескольких переменных и дифференциальные уравнения. Учебное пособие / ЛГПИ им. А.И. Герцена.-Л., 1986.

8. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. - М.: Наука, 1968. Т.1, 2.

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 8

Вариант 1	Вариант 2
1. Найдите область определения функции , нарисуйте его, охарактеризуйте (замкнутость, связность, ограниченность)
2. Нарисуйте линии уровня функции
3. Нарисуйте график функции
,	,
4. Найдите дифференциалы первого и второго порядка функции
5. Найдите частные производные , , дважды непрерывно дифференцируемой сложной функции , если
,	,
6. Найдите в точке М частные производные первого и второго порядка неявной функции
,	,
7. Найдите производную по направлению вектора в точке М
, ,	, ,
8. Исследуйте функцию на экстремум
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном множестве
, ,	, ,
Вариант 3	Вариант 4
1. Найдите область определения функции , нарисуйте его, охарактеризуйте (замкнутость, связность, ограниченность)
2. Нарисуйте линии уровня функции
3. Нарисуйте график функции
, , ,	,
4. Найдите дифференциалы первого и второго порядка функции
5. Найдите частные производные , , дважды непрерывно дифференцируемой сложной функции , если
,	,
6. Найдите в точке М частные производные первого и второго порядка неявной функции
,	,
7. Найдите производную по направлению вектора в точке М
, , образует угол с осью	, , - внешняя нормаль к окружности в точке М
8. Исследуйте функцию на экстремум
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном множестве
, ,	, ,

 

Вариант 5	Вариант 6
1. Найдите область определения функции , нарисуйте его, охарактеризуйте (замкнутость, связность, ограниченность)
2. Нарисуйте линии уровня функции
3. Нарисуйте график функции
, ,	, ,
4. Найдите дифференциалы первого и второго порядка функции
5. Найдите частные производные , , дважды непрерывно дифференцируемой сложной функции , если
,	,
6. Найдите в точке М частные производные первого и второго порядка неявной функции
,	,
7. Найдите градиент функции в точке М
,	,
8. Исследуйте функцию на экстремум
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном множестве
,	, , ,

 

Вариант 7	Вариант 8
1. Найдите область определения функции , нарисуйте его, охарактеризуйте (замкнутость, связность, ограниченность)
2. Нарисуйте линии уровня функции
3. Нарисуйте график функции
,	,
4. Найдите дифференциалы первого и второго порядка функции
5. Найдите частные производные , , дважды непрерывно дифференцируемой сложной функции , если
,	,
6. Найдите в точке М частные производные первого и второго порядка неявной функции
,	,
7. Найдите производную по направлению вектора в точке
, ,	, ,
8. Исследуйте функцию на экстремум
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном множестве
, , ,	, , ,

 

 

Вариант 9	Вариант 10
1. Найдите область определения функции , нарисуйте его, охарактеризуйте (замкнутость, связность, ограниченность)
2. Нарисуйте линии уровня функции
3. Нарисуйте график функции
,	, ,
4. Найдите дифференциалы первого и второго порядка функции
5. Найдите частные производные , , дважды непрерывно дифференцируемой сложной функции , если
,	,
6. Найдите в точке М частные производные первого и второго порядка неявной функции
	,
7. Найдите наибольшее значение производной по направлению функции в точке М
,	,
8. Исследуйте функцию на экстремум
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном множестве
, , ,	,

 

Вариант 11	Вариант 12
1. Найдите область определения функции , нарисуйте его, охарактеризуйте (замкнутость, связность, ограниченность)
2. Нарисуйте линии уровня функции
3. Нарисуйте график функции
,	,
4. Найдите дифференциалы первого и второго порядка функции
5. Найдите частные производные , , дважды непрерывно дифференцируемой сложной функции , если
,	,
6. Найдите в точке М частные производные первого и второго порядка неявной функции
,
7. Найдите единичный вектор , по направлению которого производная в точке М наибольшая
,	,
8. Исследуйте функцию на экстремум
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном множестве
,	,

 

Вариант 13	Вариант 14
1. Найдите область определения функции , нарисуйте его, охарактеризуйте (замкнутость, связность, ограниченность)
2. Нарисуйте линии уровня функции
3. Нарисуйте график функции
, ,	,
4. Найдите дифференциалы первого и второго порядка функции
5. Найдите частные производные , , дважды непрерывно дифференцируемой сложной функции , если
,	,
6. Найдите в точке М частные производные первого и второго порядка неявной функции
,	,
7. Найдите производную по направлению вектора в точке М
, ,	, ,
8. Исследуйте функцию на экстремум
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном множестве
,	,

 

 

Вариант 15	Вариант 16
1. Найдите область определения функции , нарисуйте его, охарактеризуйте (замкнутость, связность, ограниченность)
2. Нарисуйте линии уровня функции
3. Нарисуйте график функции
, ,	, ,
4. Найдите дифференциалы первого и второго порядка функции
5. Найдите частные производные , , дважды непрерывно дифференцируемой сложной функции , если
,	,
6. Найдите в точке М частные производные первого и второго порядка неявной функции
,	,
7. Найдите производную по направлению вектора в точке М
, , образует угол с осью O	, , - внешняя нормаль к окружности в точке М
8. Исследуйте функцию на экстремум
9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном множестве
,	,

 

 

Вариант 17	Вариант 18
1. Найдите область определения функции , нарисуйте его, охарактеризуйте (замкнутость, связность, ограниченность)
2. Нарисуйте линии уровня функции
3. Нарисуйте график функции
,	,
4. Найдите дифференциалы первого и второго порядка функции
5. Найдите частные производные , , дважды непрерывно дифференцируемой сложной функции , если
,	,
6. Найдите в точке М частные производные первого и второго порядка неявной функции
,	,
7. Найдите градиент функции в точке М
,	,
8. Исследуйте функцию на экстремум
9. Найдите условные экстремумы функции при данном уравнении связи
,	,

 

Вариант 19	Вариант 20
1. Найдите область определения функции , нарисуйте его, охарактеризуйте (замкнутость, связность, ограниченность)
2. Нарисуйте линии уровня функции
3. Нарисуйте график функции
,	, ,
4. Найдите дифференциалы первого и второго порядка функции
5. Найдите частные производные , , дважды непрерывно дифференцируемой сложной функции , если
,	,
6. Найдите в точке М частные производные первого и второго порядка неявной функции
,	,
7. Найдите производную по направлению вектора в точке М
, ,	, ,
8. Исследуйте функцию на экстремум
9. Найдите условные экстремумы функции при данном уравнении связи
,	,