Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Замена переменных в двойном интеграле.
Пусть функция непрерывна на замкнутом квадрируемом множестве D, функции , непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в замкнутом квадрируемом множестве Q и задают взаимно однозначное отображение множества Q на множество D. Тогда имеет место следующая формула замены переменных в двойном интеграле
,
где . Этот определитель называется якобианом отображения , . В частности, при переходе к полярной системе координат на плоскости , якобиан вычисляется следующим образом: , поэтому .
Пример 19. Вычислим интеграл W = , где D - круг . Поскольку границей области интегрирования является окружность , то при вычислении данного интеграла удобно перейти к полярным координатам , . При этом отображении прообразом круга является прямоугольник (уравнение окружности в полярной системе координат имеет вид , ). Используя формулу замены переменных, получим: W = = = = = .
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Пусть непрерывная и неотрицательная функция, определенная на замкнутом квадрируемом множестве D.
Объем цилиндрического тела (криволинейного цилиндра), ограни- ченного поверхностью , плоскостью и прямой цилиндри- ческой поверхностью, вырезающей на плоскости множество D (рис.9), вычисляется по формуле:
V = .
Площадь S квадрируемой области Рис.9. D на плоскости xOy выражается формулой
S = .
Площадь F гладкой поверхности , , вычисляется по формуле
F =
В последней формуле D - проекция данной Поверхности на плоскость xOy (рис.10). Рис. 10. Аналогичные формулы имеют место, если гладкая поверхность задана уравнением , , (или уравнением , ): F1 = (или F2 = ).
Пример 20. Найдем объем тела, ограниченного поверхностью и плоскостями , , и . Заметим, что уравнение задает цилиндрическую z поверхность с образующими, параллельными оси x, а плоскость параллельна оси z (рис. 11). Область D ограничена прямыми , и , она может y быть задана неравенствами , .
x Рис. 11 Объем тела V = = = =20/3 (куб.ед.).
Пример 21. Найдем объем тела, ограниченного плоскостями , и цилиндром . Тело, объем которого требуется z вычислить, изображено на рис. 12. Объем тела вычисляется по формуле V = . Этот интеграл
вычислен в примере 19, он равен 3p, поэтому искомый объем равен 3p (куб.ед.). y
Пример 22. Найдем площадь x фигуры D, ограниченной кривой Рис. 12 (). Заметим, что кривая симметрична относительно оси x (уравнение кривой не меняется при замене y на - y), расположена в правой полуплоскости (левая часть уравнения неотрицательна, поэтому и правая часть должна быть неотрицательной). Кривая пересекает ось x в точках и . Кроме того, она ограничена: из очевидного неравенства следует, что , а поскольку , то . Эскиз кривой дан на рис. 13. Для вычисления площади фигуры D, ограниченной данной кривой, воспользуемся формулой S = . Наличие в формуле кривой двучлена подсказывает, что целесообразно перейти к полярным координатам , . Полярное уравнение кривой: . Из условия следует, что q меняется от -p/2 до p/2, при каждом фиксированном Рис. 13 q переменная r изменяется от 0 до . Используя симметричность D, мы можем вычислить площадь фигуры, расположенной в первой четверти и удвоить ее. Таким образом, S= = = = (кв. ед.).
Пример 23. Вычислим площадь части параболоида , вырезанной цилиндром . Очевидно, что указанная часть поверхности состоит из четырех равных между собой частей (в силу симметрии параболоида и цилиндра). Поэтому мы можем вычислять площадь одной четвертой части указанной поверхности (например, той, которая находится в первом октанте) и результат умножить на четыре. Таким образом, F= , где D - четверть круга , располо-женная в первой четверти. , следовательно, , , и F = . Областью интегрирования является часть круга, а подынтегральная функция содержит в себе выражение , поэтому при вычислении интеграла удобно перейти к полярным координатам. Область D в полярных координатах задается неравенствами , , следовательно, F = = = = (кв. ед.).
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Пусть L - простая спрямляемая незамкнутая кривая, заданная параметрически: , , . Напомним, что L называется простой незамкнутой кривой, если функции , непрерывны на и различным значениям параметра t из отрезка соответствуют различные точки на кривой L. Простая кривая называется спрямляемой, если она имеет конечную длину.
Пусть на кривой L заданы две функции и . Разобьем отрезок на n частей точками . При этом кривая L разбивается на n частей точками ; - координаты точки . Введем обозначения: , , - длина дуги , . На каждой дуге выберем некоторую точку с координатами и составим интегральную сумму .
Если существует конечный предел , который не зависит ни от способа разбиения отрезка на части, ни от выбора точек , то J называется криволинейным интегралом по координатам (криволинейным интегралом второго рода)и обозначается
.
Замечания. 1. Из определения криволинейного интеграла следует, что при изменении направления обхода кривой L изменяется и знак интеграла, т.е. .
2.Если кривая L замкнутая (т.е. точка A совпадает с точкой B ), то для L можно указать два направления обхода от A к B. Если область, лежащая внутри контура, остается слева по отношению к движущейся по контуру точке, то такое направление обхода кривой L называется положительным, а противоположное ему - отрицательным. Интеграл по замкнутому контуру в положительном направлении обозначают так: . Заметим, что в случае вычисления интеграла по замкнутому контуру в качестве начальной (и конечной) точки можно взять любую точку контура.
3. Криволинейные интегралы обладают свойствами линейности и аддитивности.
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-19; просмотров: 299; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.17.150.89 (0.159 с.) |