ТОП 10:

Задача 3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.



Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение линейное относительно неизвестной функции и ее производной. Оно имеет вид

(1)

где - заданные функции от , непрерывные в той области, в которой требуется проинтегрировать уравнение (1).

Если , то уравнение (1) называется линейным однородным. Оно является уравнением с разделяющимися переменным и имеет общее решение

.

Общее решение неоднородного уравнения можно найти следующими способами:

1) методом вариации произвольной постоянной, который состоит в том, что

решение уравнения (1) находится в виде

, где - новая неизвестная функция.

2) уравнение (1) может быть проинтегрирован с помощью подстановки , где - неизвестные функции от .

3) решение уравнения (1) можно найти еще и по формуле

.

Замечание. Может оказаться, что дифференциальное уравнение линейно относительно как функции от . Нормальный вид (коэффициент при равен 1) такого уравнения

( )

Пример 4.

Решить уравнение .

Решение. Вид уравнения нормальный

.

Ответ: .

 

Упражнения. Решить уравнения

1. . Ответ: .

2. .

Приводим к виду , и решаем по формуле . Ответ: .

3. . Ответ: .

4. . Ответ: .

 

Уравнение линейное относительно функции . Приводим его к виду

или .

 

ЗАДАНИЯ ПО ВАРИАНТАМ:

Решить линейные дифференциальные уравнения первого порядка:

1. .
2. .
3. ; .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .
11. .
12. .
13. .
14. .
15. .
16. .
17. .
18. .
19. .
20. .
21. .
22. .
23. .
24. .
25. .
26. .
27. .
28. .
29. .
30. .

Задача 4. Уравнение Бернулли.

Уравнение Бернулли имеет вид

(1)

(при это уравнение является линейным).

Уравнение (1) умножим на

(2)

Обозначим .

Уравнение (2) умножим на

или

(3)

(3) – линейное уравнение относительно переменной .

Таким образом, уравнение Бернулли можно привести к линейному уравнению.

Замечание. Уравнение Бернулли может быть проинтегрировано также методом вариации постоянной, как линейное уравнение и с помощью подстановки .

Пример 5.

Решить уравнение Бернулли .

Приведем уравнение к виду

.

Обе части уравнения умножим на и сделаем замену , причем, , получим - это линейное уравнение относительно .

Получили .

Поэтому .

Ответ: .

Упражнения. Решить уравнения

1. . Ответ: .

2. . Ответ: .

3. . Ответ: .

Уравнение следует переписать в виде

или - это уравнение Бернулли относительно функции .

4. . Ответ: .

Обе части уравнения следует умножить на и сделать замену .

ЗАДАНИЯ ПО ВАРИАНТАМ:

Решить уравнения Бернулли:

 

1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .
11. .
12. .
13. .
14. .
15. .
16. .
17. .
18. .
19. .
20. .
21. .
22. .
23. .
24. .
25. .
26. .
27. .
28. .
29. .
30. .

 







Последнее изменение этой страницы: 2017-01-19; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.204.227.250 (0.007 с.)