О том, как незнакомец тщетно пытался на словах объяснить мне тайны Трехмерия

 

Как только предупреждающие возгласы, издаваемые моей женой, стихли в отдалении, я стал приближаться к Незнакомцу, намереваясь получше рассмотреть его и предложить ему сесть. Однако наружность Незнакомца настолько поразила меня, что я лишился дара речи и остановился как вкопанный. Не имея ни малейших признаков углов, Незнакомец непостижимым образом ежесекундно менял как размеры, так и яркость, не походя при этом ни на одну из известных мне фигур. У меня мелькнула мысль: а что если передо мной взломщик или грабитель, какой‐нибудь выродок из Неправильных Равнобедренных Треугольников, который, подражая голосу Окружности, сумел проникнуть в дом и теперь готовится пронзить меня острым углом при своей вершине?

Отсутствие тумана в гостиной (конец года выдался на редкость засушливым) мешало мне удостовериться в своей догадке с помощью распознавания по внешнему виду, в особенности со столь близкого расстояния, на котором я находился от Незнакомца. Вне себя от страха я бесцеремонно бросился вперед и со словами «Прошу простить меня, сударь, но...» ощупал его. Моя жена была права. У Фигуры и в помине не было углов. Контур ее был лишен даже малейших неровностей или несоразмерностей. Никогда в жизни я не встречал более совершенной Окружности! Незнакомец стоял неподвижно, ожидая, пока я обойду его. Я описал вокруг него полный круг, начав с глаза и вернувшись к нему же. Незнакомец со всех сторон был круглым. Идеальная, совершенная Окружность без малейшего изъяна — в этом не оставалось никаких сомнений. Затем последовал диалог, который я постараюсь передать по памяти как можно более точно, опустив лишь мои пространные извинения. Я весь пылал от стыда и унижения при мысли, что я, Квадрат, виновен в столь чудовищном нарушении приличий, как ощупывание Окружности. Диалог открыл Незнакомец, которому наскучила несколько затянувшаяся церемония представления.

Незнакомец. Не слишком ли вы увлеклись ощупыванием? Разве вам все еще трудно понять, кто ваш собеседник?

Я. Ваша светлость! Прошу простить мне мою неловкость, проистекающую не от незнания приличий, а лишь от того удивления и растерянности, которое вызвало ваше неожиданное появление. Умоляю вас никому не рассказывать о допущенном мной грубом промахе, в особенности моей жене. Но прежде чем ваша милость перейдет к прочим темам, не соблаговолите ли вы удовлетворить любопытство того, кто с радостью хотел бы узнать, откуда прибыл его Гость?

Незнакомец. Из Пространства, сударь, из Пространства. Откуда же еще?

Я. Прошу простить, ваша светлость, но разве вы не находитесь в Пространстве в данный момент, вы и ваш покорный слуга?

Незнакомец. А что вы, собственно говоря, знаете о Пространстве? Дайте определение Пространства.

Я. Пространство, ваша светлость, — это длина и ширина, продолженные до бесконечности.

Незнакомец. Я так и думал: вы не имеете ни малейшего представления о том, что такое Пространство. Вы мыслите только в двухмерном пространстве. Я же прибыл, дабы возвестить вам о трехмерном пространстве: ширине, длине и высоте.

Я. Ваша милость изволит шутить. Мы также говорим о длине и высоте, или о ширине и толщине, обозначая два измерения четырьмя названиями.

Незнакомец. Но я имею в виду не только три названия, но и три измерения.

Я. Не могли бы вы, ваша милость, указать или объяснить мне, в каком направлении простирается неизвестное мне третье измерение?

Незнакомец. Я прибыл к вам из третьего измерения. Оно простирается вверх и вниз.

Я. Ваша светлость, по‐видимому, хотела сказать к северу и к югу?

Незнакомец. Ничего подобного! Говоря о третьем измерении, я имел в виду направление, в котором вы не можете взглянуть, потому что у вас нет глаз сбоку.

Я. Прошу прощения, ваша светлость, но достаточно даже беглого взгляда, чтобы ваша милость могла убедиться: там, где сходятся две мои стороны, у меня расположено великолепное око.

Незнакомец. Не спорю, но для того чтобы вы могли заглянуть в Пространство, вам необходимо иметь глаз, расположенный не на периметре, а на боку: на том месте, которое вы скорее всего назвали бы своей внутренностью. Мы в Трехмерии называем ее нашей стороной.

Я. Иметь глаз в своей внутренности! Глаз в собственном желудке! Ваша милость шутит.

Незнакомец. Я отнюдь не расположен шутить. Говорю вам, что я прибыл из Пространства, или, поскольку вы не понимаете, что означает Пространство, из Страны Трех Измерений, откуда я еще совсем недавно взирал на вашу Плоскость, именуемую вами истинным Пространством. Занимая столь выгодную позицию, я мог без труда заглянуть внутрь любого предмета, который вы называете объемным (то есть «ограниченным с четырех сторон»): в ваши дома, храмы, сундуки и сейфы, даже в ваши внутренности и желудки. Все было открыто моему взору!

Я. Ваша светлость, подобные утверждения легко высказать.

Незнакомец. Вы имеете в виду, что их трудно доказать? Чтобы не быть голословным, постараюсь подкрепить свои слова вескими доводами.

Спускаясь к вам, я видел четырех ваших сыновей‐Пятиугольников (каждый из них находился в своей комнате) и двух ваших внуков‐Шестиугольников. Я видел, как ваш младший Шестиугольник сначала оставался вместе с вами, а затем удалился к себе в комнату, после чего вы с женой остались вдвоем. Я видел, как на кухне ужинают три Равнобедренных Треугольника из вашей прислуги, а мальчик‐слуга моет посуду. Затем я спустился к вам. Каким образом, по‐вашему, мне удалось проникнуть в дом?

Я. Наверное, через крышу.

Незнакомец. О нет! Крышу, как вам хорошо известно, недавно чинили. В ней нельзя найти ни одной дырочки, сквозь которую могла бы пролезть даже женщина. Я же говорю, что пришел к вам из Пространства. Разве вас не убедили те подробности, которые я сообщил вам о ваших детях и прислуге?

Я. Вашей милости, должно быть, известно, что подобные сведения о жизни домочадцев и укладе жизни вашего покорного слуги нетрудно получить, расспросив любого из соседей, в особенности если учесть те мощные средства для сбора информации, которые имеются в вашем распоряжении.

Незнакомец (про себя). Что же делать? Минутку! Кажется, мне пришла в голову удачная мысль. (Обращается ко мне.) Когда вы видите Отрезок прямой (например, вашу жену), чему, по‐вашему, равна его размерность?

Я. Ваша милость обращается со мной так, будто я один из тех простолюдинов, которые, будучи не сведущими в математике, полагают, будто женщины действительно имеют вид Отрезков прямых и одномерны. Нет, ваша светлость! Мы, Квадраты, осведомлены гораздо лучше, и нам, как и вашей милости, известно, что женщины, хотя их и принято называть Отрезками прямых, в действительности, если воспользоваться научной терминологией, представляют собой чрезвычайно сплющенные Параллелограммы, которые, как и все мы, двумерны, то есть обладают длиной и шириной (или толщиной).

Незнакомец. Но если Отрезок прямой видим, то это и означает, что он, помимо длины, обладает еще одной размерностью.

О. Ваша светлость, как я только сообщил вам, наши женщины обладают не только длиной, но и шириной. Мы созерцаем их длину и по ней делаем заключения о ширине, которая, хотя и чрезвычайно мала, но все же поддается измерению.

Незнакомец. Вы не поняли меня. Я хотел сказать, что, видя женщину, вы должны (если оставить в стороне производимые вами умозаключения о ее ширине) видеть ее длину и еще одно измерение, называемое у нас в Трехмерии высотой, хотя последнее в вашей стране исчезающе мало. Если бы Отрезки прямых обладали только длиной и были лишены «высоты», то они не занимали бы места и были бы невидимы. Надеюсь, это вам известно.

Я. Должен признаться, ваша милость, что не понял ни слова из того, о чем вы говорите. Когда мы во Флатландии видим какую‐то Линию, то мы видим, какова се длина и как она светится, Если Линия перестает светиться, то она тем самым перестает существовать и, как вы изволили выразиться, занимать пространство. Могу ли я взять на себя смелость и предположить, что ваша милость называет способность Линии светиться размерностью и в тех случаях, когда мы говорим о яркости Линии, употребляет слово «высота»?

Незнакомец. Разумеется, нет! Под «высотой» я понимаю такое же измерение, как ваша длина. Единственное различие состоит в том, что «высоту» во Флатландии воспринять нелегко, поскольку она чрезвычайно мала.

Я. Ваша светлость, высказанное вами утверждение нетрудно проверить. Вы говорите, будто я обладаю третьим измерением, называемым вами «высотой»! Но каждое измерение — это определенное направление и определенные размеры.

Назовите мою «высоту» или хотя бы укажите мне направление, в котором она простирается, и я обращусь в вашу «веру». В противном случае, да простит мне ваша милость, у меня будут все основания не доверять вам.

Незнакомец (про себя). Я не могу сделать ни того, ни другого. Как мне убедить его? Простого, без прикрас, изложения фактов, подкрепляемого их наглядной демонстрацией, должно быть заведомо достаточно. (Обращается ко мне.) Милостивый государь! Прошу вас внимательно выслушать меня.

Вы живете на Плоскости. То, что вы называете Флатландией, как бы представляет собой огромную поверхность некоей жидкости. Вы и ваши соотечественники передвигаетесь, «плаваете» по этой поверхности, не имея возможности ни приподняться над ней, ни опуститься под нее.

Я не плоская Фигура, а объемное Тело. Вы называете меня Окружностью, но в действительности я не Окружность, а бесчисленное множество Окружностей различных размеров, от Точки до Окружности, достигающей тринадцати дюймов в диаметре, как бы сложенных вместе. Пересекаясь с вашей Плоскостью, я образую в сечении Фигуру, которую вы с полным основанием называете Окружностью. Ибо даже Сфера (так называют меня обитатели страны, в которой я живу), если у нее возникает необходимость предстать перед обитателями Флатландии, вынуждена принимать форму Окружности.

Разве вы не помните (для меня во Флатландии нет ничего тайного, все открыто моему взору, и прошлой ночью я без труда прочитал фантасмагорическое видение Лайнландии, запечатленное в вашем мозгу), разве вы запамятовали, говорю я, как, очутившись в Лайнландии, были вынуждены предстать перед ее королем не в виде Квадрата, а лишь в виде Отрезка? Размерность Линейного королевства недостаточно велика для того, чтобы оно могло вместить вас целиком. В Лайнландии умещался лишь небольшой срез, или сечение, вашего тела. Точно так же в вашей стране Двух измерений мне не хватает места, поскольку я — существо трехмерное. Лишь небольшой срез, или сечение, моего тела умещается во Флатландии, Его‐то вы и называете Окружностью.

Судя по тому, как померкла яркость вашего глаза, вы мне не верите, Приготовьтесь же теперь воспринять убедительное доказательство истинности моих утверждений.

За один раз вы можете видеть лишь одно из моих сечений или Окружностей, поскольку не в состоянии оторвать свой взгляд от плоскости Флатландии. Но вы по крайней мере можете увидеть, как уменьшаются размеры моего сечения, когда я возношусь в Пространство.

Смотрите же — я поднимаюсь. Вы увидите, как моя Окружность будет уменьшаться в размерах до тех пор, пока не стянется в Точку и полностью не исчезнет.

Как я ни напрягал свое зрение, никакого «подъема» мне увидеть так и не удалось, но Незнакомец действительно стал уменьшаться в размерах, пока наконец совсем не исчез. Я несколько раз зажмурил и вновь открыл свой глаз, чтобы убедиться в том, что все происходящее мне снится. Но это был не сон, Из глубин Ниоткуда до меня донесся низкий голос (казалось, он раздается где‐то рядом с моим сердцем): «Я полностью вышел из Флатландии? Теперь вы убедились? Смотрите внимательно: я медленно возвращаюсь во Флатландию, и вы увидите, как мое сечение будет постепенно увеличиваться».

 

Что увидел Квадрат, наблюдая за подъемом Сферы.

Каждый читатель, живущий в Трехмерии, легко поймет, что мой таинственный гость говорил со мной на языке истины и даже изрекал довольно простые утверждения. Но мне, хотя я и считался не последним математиком Флатландии, понять его было нелегко. Из приведенной на рисунке грубой схемы даже ребенку, обитающему в Трехмерии, ясно, что Сфера, поднимаясь в Пространство, в трех изображенных на схеме положениях казалась мне и должна была казаться любому флатландцу Окружностью (сначала — в полную величину (а), затем поменьше (б) и наконец очень маленькой (в), стягивающейся в Точку). Но для меня, хотя я и созерцал собственным глазом все происходящее, причины по‐прежнему оставались покрытыми тьмой. Я мог постичь лишь то, что Окружность начала уменьшаться к исчезла, а затем вновь появилась и стала быстро увеличиваться в размерах.

Достигнув первоначальной величины, Незнакомец испустил глубокий вздох, ибо по моему молчанию он понял, что ему так и не удалось убедить меня. И действительно, я был склонен думать, что передо мной совсем не Окружность, а необычайно ловкий фокусник, или, если верить бабушкиным сказкам, колдун и чародей.

После долгого молчания Незнакомец пробормотал себе под нос: «Если не прибегать к насилию, то остается единственное средство: воспользоваться методом аналогии». Затем, помолчав еще какое‐то время, Незнакомец продолжил наш диалог.

Сфера. Скажите мне, господин Математик: если Точка движется к северу, оставляя за собой светящийся след, то как вы назовете ее след?

Я. Отрезком прямой.

Сфера. А сколько концов у такого Отрезка?

Я. Два.

Сфера. Представьте себе, что Отрезок прямой, проходящей с юга на север, движется параллельно самому себе с востока на запад. Каждая Точка Отрезка оставляет за собой след, который имеет вид Отрезка прямой. Как вы назовете образовавшуюся при этом Фигуру? Для простоты предположим, что Отрезок переместился на расстояние, равное собственной длине. Как вы назовете образовавшуюся Фигуру, хотел бы я знать?

Я. Квадратом.

Сфера. А сколько у Квадрата сторон и углов?

Я. Четыре стороны и четыре угла.

Сфера. Напрягите слегка свое воображение и представьте себе Квадрат во Флатландии, который движешься параллельно себе вверх.

Я. Как вы сказали? К северу?

Сфера. Нет, не к северу, а вверх, из Флатландии. Если бы Квадрат двигался в северном направлении, то его южные Точки должны были бы проходить по тем местам, где ранее находились его северные Точки. Я же имею в виду другое.

Я хочу сказать, что каждая ваша Точка (поскольку вы Квадрат и вполне подходите для моего примера), то есть каждая точка, принадлежащая той вашей части, которую вы называете своей внутренностью, должна двигаться сквозь Пространство вверх. Иначе говоря, вы должны двигаться в таком направлении, чтобы ни одна Точка не занимала положения, которое ранее занимала другая ваша Точка, причем каждая Точка описывала бы Отрезок прямой. Тогда ваша аналогия с движением Отрезка, порождающим Квадрат, была бы полной. Должно быть, это вам ясно.

Сдерживая нетерпение (ибо я испытывал сильное искушение броситься на своего Гостя и вытолкнуть его в Пространство или куда угодно из Флатландии, лишь бы наконец избавиться от него), я ответил:

— Что представляет собой Фигура, которую я описал бы, двигаясь в направлении, называемом вами направлением «вверх»? Не могли бы вы описать ее на языке Флатландии?

Сфера. Разумеется, мог бы. Такое описание совсем не сложно и находится в полном соответствии с проводимой мной аналогией. Замечу лишь, что часть Пространства, описанную вашими Точками, следует называть не Фигурой, а Телом.

Итак, я опишу вам это Тело, точнее говоря, не я, а аналогия.

Мы начали с рассмотрения Точки, Поскольку Точка не содержит других точек, кроме себя, то число концов конечных Точек) у нее, как нетрудно видеть, равно 1. Таким образом, у Точки есть лишь одна конечная Точка.

Точка порождает Отрезок прямой, имеющий две конечные Точки.

Отрезок прямой порождает Квадрат, обладающий четырьмя конечными Точками (вершинами).

Попытайтесь теперь сами ответить на свой вопрос. Числа 1, 2, 4 образуют геометрическую прогрессию. Каков ее следующий член?

Я. Он равен 8.

Сфера. Совершенно верно. Итак, Квадрат порождает Нечто, не имеющее названия на языке флатландцев. Это Нечто мы называем Кубом. Число вершин у Куба равно восьми. Теперь вам ясно?

Я. Есть ли у Существа, именуемого вами Кубом, стороны, углы или то, что вы называете «конечными Точками»?

Сфера. Разумеется, есть, причем в полном соответствии с аналогией. Кстати сказать, говоря о сторонах Куба, необходимо иметь в виду, что речь идет о сторонах, понимаемых не в вашем, флатландском, а в нашем, трехмерном, смысле. Вы бы назвали эти стороны объемными.

Я. Сколько таких объемных сторон имеется у Существа, именуемого вами Кубом, которое я описал бы, двигаясь «вверх» своей внутренностью?

Сфера. Как вам не стыдно задавать мне такой вопрос? Вы же математик! Сторона чего угодно всегда имеет размерность, которая на единицу меньше размерности этого, если можно так выразиться, Чего угодно. Следовательно, поскольку Точка обладает наименьшей размерностью, то у Точки 0 «сторон». Отрезок прямой имеет 2 «стороны» (разумеется, конечные Точки Отрезка можно назвать сторонами лишь из вежливости), Квадрат — 4 стороны. Итак, мы получаем числа 0, 2, 4. Как вы назовете образуемую ими прогрессию?

Я. Арифметической.

Сфера. А чему равен ее следующий член?

Я. Шести.

Сфера. Совершенно верно. Итак, вы сами ответили на свой вопрос. Куб, который бы вы породили, двигаясь вверх параллельно самому себе, ограничен шестью сторонами, то есть шестью вашими внутренностями. Теперь вам все стало ясно?

— Чудовище! — воскликнул я — Будь ты презренный фокусник, колдун, чародей, наваждение или дьявол, я не стану более терпеть твои насмешки. Один из нас — либо ты, либо я — должен погибнуть.

С этими словами я бросился на Незнакомца.