Принцип размерного квантования

 

Рассмотрим основную идею размерного квантования на примере электронов, находящихся в очень тонкой металлической или полупроводниковой пленке толщиной а. То обстоятельство, что в обычных условиях носители сосредоточены в пленке и не выходят из нее в окружающую среду, означает, что материал пленки (металл или полупроводник) представляет собой потенциальную яму для электронов глубиной, равной работе выхода W, и шириной а. Согласно законам квантовой механики, энергия электронов в такой яме квантуется, то есть может принимать лишь некоторые дискретные значения Еn, где n имеет целочисленные значения 1,2,3,…. Эти дискретные значения называют уровнями размерного квантования.

Типичные значения работы выхода в большинстве твердых тел имеют величину W = 4-5 эВ, на несколько порядков превышающую характерную тепловую энергию носителей kТ, равную при комнатной температуре 0.026 эВ. Поэтому потенциальную яму можно считать бесконечно глубокой (рисунок 1 а). Если пленка занимает область 0<z<а, то в этом случае энергетические уровни квантовых состояний выглядят следующим образом:

 

(1)

 

где m - эффективная масса электрона.

 

Другим необходимым условием, позволяющим считать яму бесконечно глубокой, является малость значений Е_n, по сравнению с ее действительной глубиной W. Это условие, которое для нижних уровней можно записать в виде а>πħ/(2mW)^1/2, при m =0.1 m₀ соответствует толщинам пленки порядка нескольких межатомных расстояний. Во всех реальных структурах это условие соблюдается.

Вывод о квантовании энергии электронного движения относится лишь к движению поперек потенциальной ямы (по оси z). На движение в плоскости ху (параллельно границам пленки) потенциал ямы не влияет. В этой плоскости носители движутся как свободные и характеризуются, как и в массивном образце, непрерывным квадратичным по импульсу энергетическим спектром с эффективной массой m. Полная же энергия носителей в квантово-размерной пленке носит смешанный дискретно-непрерывный спектр, представляя собой сумму дискретных уровней, связанных с движением в направлении квантования, и непрерывной компоненты, описывающей движение в плоскости слоя:

 

(2)

 

где р_x и р_y - компоненты импульса в плоскости слоя.

Рисунок 1 - Энергетический спектр квантово-размерной пленки

 

За счет непрерывной компоненты энергетического спектра р2/2m=(p_x²+p_y² )/2m электроны, принадлежащие одному и тому же уровню Е_n, могут иметь любую энергию от Е_n до бесконечности (рисунок 1 б). Такую совокупность состояний для данного фиксированного n называют подзоной размерного квантования.

Пусть все или почти все электроны в системе имеют энергии, меньшие Е₂, и потому принадлежат нижней подзоне размерного квантования. Тогда никакой упругий процесс (например, рассеяние на примесях) не может изменить квантовое число n, переведя электрон на вышележащий уровень, так как это потребовало бы дополнительных затрат энергии. Это означает, что электроны при упругом рассеянии могут изменять свой импульс только в плоскости ху, т.е. ведут себя как чисто двумерные частицы. Поэтому квантово-размерные структуры, в которых заполнен лишь один квантовый уровень, часто называют двумерными электронными структурами. Существуют и другие возможные квантовые структуры, где движение носителей ограничено не в одном, а в двух направлениях, как в микроскопической проволоке и нити. В этом случае носители могут свободно двигаться лишь в одном направлении, вдоль нити (например, по оси х). В поперечном сечении (плоскость уz) энергия квантуется и принимает дискретные значения Е_mn (как любое двумерное движение, оно описывается двумя квантовыми числами, m и n). Полный спектр при этом тоже является дискретно-непрерывным, но лишь с одной непрерывной степенью свободы:

 

(3)

 

По аналогии с пленочными структурами, имеющими спектр вида (2), данные системы называются одномерными электронными структурами или квантовыми нитями. Спектр квантовых нитей представляет собой совокупность подзон размерного квантования, но уже не двумерных, а одномерных. Также существуют возможности создать квантовые структуры, напоминающие искусственные атомы, где движение носителей ограничено во всех трех направлениях. Здесь энергетический спектр не содержит непрерывной компоненты, т.е. не состоит из подзон, а является чисто дискретным. Как и в атоме, он описывается тремя дискретными квантовыми числами (не считая спина) и может быть записан в виде Е=Е_imn, причем как и в атоме, энергетические уровни могут быть вырождены и зависеть лишь от одного или двух чисел. Подобные системы носят название нуль-мерных электронных структур или квантовых точек.

Следовательно, в твердотельных структурах, где хотя бы вдоль одного направления движение носителей ограничено очень малой областью, сравнимой по размерам с дебройлевской длиной волны носителей и характеризуемой обычно десятками нанометров, энергетический спектр носителей заметно меняется и становится частично или полностью дискретным. Подобное изменение спектра за счет размерного квантования приводит к существенному изменению всех электронных свойств системы по сравнению с массивным образцом того же материала.