Применение смешанного произведения.

1’) Установление компланарности векторов:

(a, b, c) = 0

.

2’) Нахождение объёмов параллелепипеда и пирамиды:

Vпарал. = |(a, b, c)|

Vпирам. = 1/6 * |(a, b, c)|.

3’) Определение взаимной ориентации векторов a, b, c – правая, если (a, b, c) > 0;

a, b, c – левая, если (a, b, c) < 0.

 

20. * Различные виды уравнения прямой на плоскости (общее, с угловым коэффициентом, через заданную точку в данном направлении * через две точки *, в отрезках).

1. Общее уравнение прямой.

Ax + By + C = 0 - общее уравнение прямой, где A^2 + B ^2 0.

Исследование общего ур-ния:

- Пусть С = 0, тогда Ax + By = 0 определит прямую, проходящую через начало координат, поскольку координаты начала (0,0) удовлетворяют этому уравнению.

- Пусть B = 0, тогда Ax + C = 0 и X = . Обозначив получим x = a. Но уравнение x = a задаёт прямую, параллельную оси ОY, следовательно, Ах + C = 0 - уравнение прямой, параллельной оси OY.

- Пусть А = 0, тогда By + C = 0 и y = . Обозначив получим, y = b. Таким образом, By + C = 0 – уравнение прямой, параллельной оси OX.

- Пусть C = 0 и B = 0, тогда прямая должна проходить через начало координат (C = 0) и одновременно быть параллельной оси Y (B=0), поэтому уравнение Ax = 0 или x = 0 – уравнение оси OY.

- Пусть C = 0 и A = 0, тогда By = 0 или y = 0 –уравнение оси OX.

2.

Задачи на прямую (угол между прямыми, условие параллельности и перпендикулярности, расстояние от точки до прямой).

1.) Угол между прямыми:

tg (альфа) =

2.) Условие параллельности:

L1 ǁ L2 => k1 = k2; ;

3.) Условие перпендикулярности:

L1 _I_ L2 => k1 * k2 = -1; A1 * A2 + B1 * B2 = 0.

4.) Расстояние от точки до прямой:

d(M0; L) =

 

Окружность (определение, каноническое ур-ние, ур-ние со смещённым центром, общее).

1.) Окружность - это геометрическое место точек плоскости, равноудалённых от одной и той же точки, называемой центром.

2.) x^2 + y^2 = R^2 - каноническое ур-ние.

3.)

4.) Ax^2 + Ay^2 +D*x + E*y + F = 0 – общее ур-ние окружности.

 

23. * Эллипс (определение, каноническое уравнение, характеристики).

23.1.) Эллипс – геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная и равная 2а.

23.2.) Составим ур-ние эллипса:

Введём систему координат XOY так, чтобы фокусы располагались на оси OX и начало координат находилось посередине между ними.

Т.к. фокусы даны => дано расстояние между ними.

Обозначим |F2F1| = 2c, тогда точка F1 (c; 0); F2 (-c; 0).

Возьмём произвольную точку M (x; y) принадлежащую эллипсу.

Согласно определению MF1 + MF2 = 2a.

Используя формулу расстояния между двумя точками, получим расстояние: + = 2a.

Преобразуем полученное ур-ние:

= 2a - | ↑2

x^2 - 2xc + c^2 + y^2 = 4a^2 - 4a + x^2 + 2xc + c^2 + y^2 - Находим подобные и вычёркиваем, остаётся:

4a = 4a^2 + 4xc |: 4

a = a^2 + xc | ↑2

a^2 (x^2 + 2xc + c^2 + y^2) = a^4 + 2a^2 xc + x^2 c^2

a^2 x^2 +2a^2 xc +a^2 c^2 + a^2 y^2 = a^4 + 2a^2 xc + x^2 c^2 - Находим подобные и вычёркиваем, остаётся:

x^2 (a^2 – c^2) + a^2 y^2 = a^2 (a^2 – c^2)

По определению эллипса, величина 2а > 2c.

2a > 2c => a > c => a^2 > c^2

a^2 – c^2 > 0.

Обозначим разность:

a^2 – c^2 = b^2

тогда последнее равенство примет вид:

x^2 * b^2 + y^2 * a^2 = a^2 * b^2 |: a^2 * b^2

+ Конаническое уравнение эллипса.

23.3.)

Характеристики:

a - большая полуось => 2a – большая ось

b - малая полуось => 2b - малая ось

с - полуфокусное расстояние.

При a > b:

Формула связи: b^2 = a^2 – c^2;

Фокусы: F1,2 = c; 0);

Эсцентриситет: Ɛ = < 1;

 

Эксцентриситет эллипса – это отношение его полуфокусного расстояния к длине большой оси:

Ɛ = . 0 < Ɛ < 1

Директриса - это прямые, перпендикулярные фокальной оси эллипса и отстоящие от его центра на расстояние :

x = - правая; x = - левая.

 

 

Гиперола

Фокусы: F1,2 ( c;0); F1,2 (0; c)

Формула связи: b^2 = c^2 – a^2

Директрисы: x= +- y= +-

Экс-тет: > 1

Асимптоты: y= +-

Парабола

26. Различные виды уравнения плоскости (через точку с заданным , общее, в отрезках, через три точки).

M0 (x0; y0; z0); (A; B; C).

1.) Уравнение прямой проходящей через точку и нормальный вектор:

A (x-x0) + B (y-y0) + C (z-z0) = 0;

2.) Общее уравнение прямой на плоскости:

Аx + By + Cz + D = 0; (A^2 + B^2 + C^2 0;

3.) В отрезках:

;

4.) Уравнение прямой проходящей через 3 точки: