В первом семестре 2012/2013 учебного года

ПЕРЕЧЕНЬ ОТВЕТОВ

на вопросы по высшей математике, выносимых на экзамен

В первом семестре 2012/2013 учебного года

6. Основные понятия векторной алгебры (скалярные и векторные величины, нулевой единичный вектор, орт, коллинеарности, компланарность векторов)

Скалярные величины: Величины, которые полностью определяются своим численным значением, называются скалярными. Примерами скалярных величин являются: площадь, длина, объем, температура, работа, масса.

Векторные величины: Другие величины, например сила, скорость, ускорение, определяются не только своим числовым значением, но и направлением. Такие величины называют векторными. Векторная величина геометрически изображается

с помощью вектора.

Вектор — это направленный прямолинейный отрезок, т. е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление.

Нулевым вектором(ō) – называется вектор, у которого начало и конец вектора совпадают, его длина равно нулю.

Единичным вектором – называется вектор, длина которого равна единице.

Орт: единичный вектор, сонаправленый с вектором ā называется его ортом.

Коллинеарность: два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной или параллельных прямых. (ā || ƀ)

Компланарность: три ненулевых вектора называются компланарными, если они лежат в одной или параллельных плоскостях.

Ортогональность: два ненулевых вектора называются ортогональными, если угол между ними равен 90°. (ā ^ ƀ)

 

Линейные операции над векторами и их свойства.

1) Суммой нескольких векторов a,b,c…d называется вектор i, соединяющий начало первого с концом последнего, если заданные векторы расположены так, что конец предыдущего является началом последующего.

2) Разностью двух векторов ā и ƀ называется третий вектор с который, будучи сложенным с вектором ƀ дает вектор ā.

3) Произведением вектора ā≠0 на скаляр λ≠0 называется вектор, который имеет длину, равную | λ || ā | и сонаправлен с ā, если λ >0, противоположно направлен, если λ <0.

Линейные операции обладают такими свойствами:

1) ā+ƀ=ƀ+ā 4) (λ₁+λ₂) * ā= λ₁*ā+ λ₂*ā

2) (a+b)+c=a+(b+c) 5) λ*(ā+ƀ)=λ*ā+λ*ƀ

3) λ₁*(λ₂*ā)= λ_1* λ₂*ā

Скалярное произведение и его совойсва.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов, на косинус угла между ними: āƀ=|ā||ƀ|cosφ.

Свойства:

1) āƀ=ƀā – перестановочное

2) (λā)ƀ=ā(λƀ)=λ(āƀ) – сочетательное

3) a=(b+c)=ab+ac – распределительное

4) ā²=|ā|² – квадрат вектора равен квадрату его длины

5) ā ^ ƀó āƀ=0 – условие ортогональности векторов

11. *Выражение скалярного произведения через координаты сомножителей.

 

Приложения скалярного произведения.

Приложения:

23.3.)

Характеристики:

a - большая полуось => 2a – большая ось

b - малая полуось => 2b - малая ось

с - полуфокусное расстояние.

При a > b:

Формула связи: b^2 = a^2 – c^2;

Фокусы: F1,2 = c; 0);

Эсцентриситет: Ɛ = < 1;

 

Эксцентриситет эллипса – это отношение его полуфокусного расстояния к длине большой оси:

Ɛ = . 0 < Ɛ < 1

Директриса - это прямые, перпендикулярные фокальной оси эллипса и отстоящие от его центра на расстояние :

x = - правая; x = - левая.

 

 

Гиперола

Фокусы: F1,2 ( c;0); F1,2 (0; c)

Формула связи: b^2 = c^2 – a^2

Директрисы: x= +- y= +-

Экс-тет: > 1

Асимптоты: y= +-

Парабола

26. Различные виды уравнения плоскости (через точку с заданным , общее, в отрезках, через три точки).

M0 (x0; y0; z0); (A; B; C).

1.) Уравнение прямой проходящей через точку и нормальный вектор:

A (x-x0) + B (y-y0) + C (z-z0) = 0;

2.) Общее уравнение прямой на плоскости:

Аx + By + Cz + D = 0; (A^2 + B^2 + C^2 0;

3.) В отрезках:

;

4.) Уравнение прямой проходящей через 3 точки:

Теорема.

1.) Если f(x) – б.б.ф., то - б.м.ф.

2.) Если – б.м.ф., непринимающая нулевых значений, то - б.м.ф.

35. * Теорема о связи функции, её предела и б.м.ф.

Теорема. Для того чтобы f(x) имела т. x0, предел равный А, необходимо и достаточно, чтобы в окрестности этой точки выполнялось равенство f(x) = A + альфа(x),

Альфа(x) – б.м.ф. в т. x0.

= A ó f(x) = A +альфа(x), альфа(x) – б.м.ф. в т. x0.

(=>) Дано: = A.

Доказать: f(x) = A + альфа(x), альфа(x) – б.м.ф. в т. x0.

. Т.к. = A =>

Если рассмотреть разность f(x) – A как единую функцию, то согласно определению (2) выражение f(x) – A, есть б.м.ф. в т. x0 или f(x) – A = альфа(x) => f(x) = A + альфа(x). .

 

 

36. *Основные теоремы о пределах (о сумме*,произведении*, частного)

37. *Признак существования предела функции (Теорема о двух милиционерах)

38. *Замечательные пределы

Второй замечательный предел:

39. *Сравнение б.м.ф. Эквивалентные бмф(таблица, теоремы о них)

Таблица эквивалентыности:

ПЕРЕЧЕНЬ ОТВЕТОВ

на вопросы по высшей математике, выносимых на экзамен

в первом семестре 2012/2013 учебного года

6. Основные понятия векторной алгебры (скалярные и векторные величины, нулевой единичный вектор, орт, коллинеарности, компланарность векторов)

Скалярные величины: Величины, которые полностью определяются своим численным значением, называются скалярными. Примерами скалярных величин являются: площадь, длина, объем, температура, работа, масса.

Векторные величины: Другие величины, например сила, скорость, ускорение, определяются не только своим числовым значением, но и направлением. Такие величины называют векторными. Векторная величина геометрически изображается

с помощью вектора.

Вектор — это направленный прямолинейный отрезок, т. е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление.

Нулевым вектором(ō) – называется вектор, у которого начало и конец вектора совпадают, его длина равно нулю.

Единичным вектором – называется вектор, длина которого равна единице.

Орт: единичный вектор, сонаправленый с вектором ā называется его ортом.

Коллинеарность: два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной или параллельных прямых. (ā || ƀ)

Компланарность: три ненулевых вектора называются компланарными, если они лежат в одной или параллельных плоскостях.

Ортогональность: два ненулевых вектора называются ортогональными, если угол между ними равен 90°. (ā ^ ƀ)