Прямое и косвенное доказательства

 

Доказательства, как нам известно еще со школьной скамьи, подразделяются на прямые и косвенные.

В прямом доказательстве тезис непосредственно следует из аргументов. Косвенное доказательство имеет более сложную структуру. К указанным выше элементам доказательства мы добавляем еще один элемент – антитезис, то есть утверждение, противоречащее тезису, а затем показываем, что он ложен. Это дает нам право утверждать, что тезис истинен. Иногда такое доказательство называют «доказательством от противного».

Рассмотрим пример. Допустим, мы хотим доказать тезис «Чиновник Копилкин берет взятки». Напрямую такой тезис доказать трудно, для этого необходимо схватить Копилкина за руку при получении им взятки, а это отнюдь не легко сделать. Поэтому приходится прибегать к косвенному доказательству.

Хорошо, говорим мы, допустим, что Копилкин не берет взяток. Вот наш антитезис: «Чиновник Копилкин не берет взяток». Теперь нам нужно показать, что этот антитезис ложен. Мы делаем это, показывая, что следствия, вытекающие из антитезиса, противоречат хорошо известным фактам, т.е. ложны.

Если верно, что Копилкин не берет взяток, то отсюда следует, что он со своей семьей живет на зарплату. Зарплата его известна и невелика, ее едва может хватить на самое насущное. Следовательно, Копилкин не может купить «мерседес», не может построить особняк, не может послать свою дочь учиться в Сорбонну.

Однако всем известно, что у Копилкина имеется «мерседес», загородный многоэтажный особняк, а его дочь вот уже который год учится в Сорбонне и живет в Париже. Следовательно, наше предположение о том, что он не берет взяток, ошибочно, т.е. антитезис ложен. В таком случае мы должны признать истинным наш тезис: «Чиновник Копилкин берет взятки».

Мы видим, что косвенное доказательство имеет более сложную структуру по сравнению с прямым, оно требует обращения к дополнительному знанию, поэтому при косвенном доказательстве возрастает риск ошибки. Оно менее надежно и убедительно, чем прямое доказательство. Скажем, обвинили мы Копилкина во взяточничестве на основании косвенного доказательства, а он в ответ предъявляет нам свидетельство о получении крупного наследства от своей бабушки из Канады или справку о доходах в качестве консультанта крупного банка. Вот и лопнуло наше доказательство!

Тем не менее во многих случаях без него трудно обойтись.

2) В авиационном подразделении служат Утконосенко, Крокодиладзе, Гиппопотамян, Змеюкин и Муравьедский. Их специальности: пилот, штурман, бортмеханик, радист и синоптик.

Определите, какую специальность имеет каждый из них, если известны следующие факты.

Крокодиладзе и Змеюкин не знакомы с управлением самолета.

Утконосенко и Змеюкин готовятся стать штурманами.

Квартиры Крокодиладзе и Муравьедского находятся рядом с квартирой радиста.

Гиппопотамян, находясь в доме отдыха, встретил Крокодиладзе и сестру синоптика.

Утконосенко и Крокодиладзе в свободное от работы время играют в шахматы с бортмехаником и пилотом.

Змеюкин, Гиппопотамян и синоптик увлекаются боксом.

Радист боксом не увлекается.

 

Опровержение

 

Опровержением называют установление ложности или необоснованности выдвинутого тезиса.

Цель опровержения – разрушить выдвинутое доказательство. Доказательство может существовать без опровержения: вы доказали некоторый тезис, и все согласились с вашим доказательством. Опровержение же всегда носит вторичный характер: сначала нужно что-то утверждать, что-то доказать – только тогда появляется материал для опровержения. Как это и бывает в повседневной жизни: нельзя разрушить то, чего еще нет; сначала нужно что-то построить, а уж потом – разрушить. Поскольку доказательство состоит из трех элементов, критика может быть направлена на каждый из них.

Опровержение тезиса заключается в установлении его ложности.

В случае прямого опровержения условно допускают, что выдвинутый тезис истинен. Затем выводя из него следствия и сравнивают их с известными фактами или с другими утверждениями защитнике тезиса. Если обнаруживают противоречие между выведенными следствиями и известными фактами то заключают, что эти следствия ложны. Следовательно, и тот тезис, из которого они получены, также должен быть признан ложным. Это то же самое «приведение к абсурду», которое используется в косвенном доказательстве.

Например, некто выдвигает тезис «Всякое убийство заслуживает осуждения», и приводит аргументы для его обоснования.

Попробуем опровергнуть этот тезис. «Хорошо, – соглашаемся мы, – допустим, ваше положение истинно. Но из него следует, что умерщвление домашнего скота и птицы также заслуживает осуждения; что следует осуждать употребление их мяса в пищу; что убийство комара или таракана заслуживает осуждения и т.п. Однако мы видим, что все вокруг поедают шашлыки и бифштексы и никто их за это не осуждает. Да и сами вы только что прихлопнули комара у себя на щеке и вовсе не испытываете раскаяния».

Таким образом, допустив, что выдвинутый тезис истинен, мы пришли к противоречию с фактами. Поэтому следует признать тезис ложным. Мы его опровергли.

При косвенном опровержении обосновывают свой тезис, который формулируется как противоречащий выдвинутому тезису. Удачное обоснование свидетельствует о ложности тезиса оппонента, противоречащего доказанному истинному утверждению.

При опровержении демонстрации требуется показать, что тезис не следует из приведенных аргументов, что в выводе допущена логическая ошибка. Если это удается, то тем самым дискредитируется все доказательство.

Наконец, третий способ опровержения – критика аргументов: показав ложность или необоснованность доводов оппонента, делают вывод о том, что его тезис не доказан.

Например, некто доказывает, что его приятель Н. – добрый человек, и приводит аргумент: недавно в кафе он один расплатился за всех.

Мы нападаем на этот аргумент: Н. просто хотел произвести впечатление на одну из дам, а когда она ушла, он потребовал, чтобы оставшиеся внесли свою долю. Доказательство опровергнуто, ибо единственный аргумент, приведенный в обоснование истинности тезиса, оказался ложным.

А вот как строит опровержение персонаж рассказа А.П, Чехова «Письмо к ученому соседу»:

«Вы пишете, что на Луне, т.е. на месяце, живут и обитают люди и племена. Этого не может быть никогда, потому что если бы и жили люди на Луне, то заслоняли бы для нас магический и волшебный свет ее своими домами и тучными пастбищами. Без дождика люди не могут жить, а дождь идет вниз на землю, а не вверх на Луну».

2) «Три девицы под окном пряли поздно вечерком». Кто не знает этих строк Пушкина! Но не царь подкрался к девицам, чтобы подслушать их разговор, а озорные добрые молодцы, которые каждой девице незаметно воткнули в волосы куриные перья. Подняли девушки головы, взглянули друг на друга и принялись хохотать. Каждая видит, что головы двух ее подруг «украшены» перьями, и хохочет над ними, полагая, что у нее самой на голове перьев нет. Хохотали они, хохотали, да вдруг одна из них замолчала: она поняла, что и у нее голова в перьях. Как дошла она до мысли такой?

 

Каков ваш тезис?

 

Построить доказательство отнюдь не легко. Многие наши горячие разговоры и споры оказываются лишенными смысла именно потому, что собеседники порой не знают, о чем они говорят, что доказывают или опровергают. Поэтому прежде чем пытаться строить доказательство, полезно спросить себя: а что я хочу доказать? Отсюда вытекает первое требование к тезису доказательства.

Тезис должен быть сформулирован. Формулировка тезиса имеет вид некоторого утвердительного или отрицательного предложения, например: «Вы не выполнили своих обязательств», «Все птицы умеют летать», «Вы – дурак» и т.п. Только после того как вы уяснили себе, что именно вы собираетесь доказывать, можно приступать к доказательству. При этом не важно, как вы будете его строить: можно сначала сформулировать тезис, а потом приводить аргументы в его поддержку, или высказать аргументы, а затем из них вывести тезис. Главное – знать, какой именно тезис вы доказываете.

Тезис должен нуждаться в доказательстве. Вы сформулировали тезис. Теперь спросите себя: нужно ли его доказывать и можно ли его доказать? Ведь доказательство – это словесное обоснование истинности какого-то положения. Но далеко не все положения обосновываются с помощью слов, истинность многих утверждений обосновывается чувственным восприятием или практическим действием. Сколько бы слов вы ни произнесли, вы не докажете собеседнику, что, скажем, огонь жжет, вода утоляет жажду, мякоть арбуза – красная и т.п. Не нужно слов, просто разрежьте арбуз или подержите человека неделю без воды, а потом дайте ему напиться, и он убедится в том, что арбуз внутри красный, а вода действительно утоляет жажду. Не следует доказывать также аксиомы, определения понятий, констатации фактов. Для их обоснования достаточно обратиться к словарю или к справочнику.

Есть положения, которые невозможно доказать, их мы принимаем на веру. Например, невозможно доказать или опровергнуть с помощью логических рассуждений религиозные убеждения человека. Или, скажем, как вы докажете девушке тезис «Я вас люблю»? Будете говорить ей комплименты, дарить цветы, метать к ее ногам кошельки? Увы, все это может быть лишь гнусным лицемерием. Такие вещи доказываются всей жизнью.

Поэтому подумайте, нужно ли доказывать ваш тезис и можно ли его доказать.

Тезис должен быть ясным и точным.

Постарайтесь выразить свой тезис по возможности кратко, используя слова с ясным и точным смыслом. Почему математические, да и вообще научные, доказательства так эффективны и плодотворны? Потому, что математические и научные термины имеют однозначный смысл и доказываемые утверждения ясны. Почему столь шатки и неубедительны «доказательства» в сфере политики или в повседневной жизни? Потому что смысл таких слов, как «народ», «собственность», «власть», «интеллигенция», «демократия» и т.п., чрезвычайно расплывчат и формулируемые с их помощью утверждения неопределенны и двусмысленны.

Возьмем какой-нибудь простой пример. Допустим, вы доказываете тезис «Н. – состоятельный человек» и приводите аргументы: «Н. имеет автомобиль», «Н. построил дачу», «У Н. пятикомнатная квартира» и т.п. Вам возражают: «Нет, ваш Н. бедняк, ибо у него нет личного самолета, он не смог купить остров в Тихом океане и у него не хватило средств для финансирования своего кандидата в президенты». Слово «состоятельный», как и слова «молодой», «красивый», «умный», «высокий», расплывчато, неопределенно в своем содержании, поэтому при использовании его для формулировки тезиса это слово нужно уточнить: «Состоятельным» я буду называть человека, имеющего такой-то доход.

Чтобы успешно провести доказательство и исключить опровержения подобного рода, следует при формулировке тезиса сразу же оговорить смысл ключевых слов.

Тезис должен оставаться одним и тем же на протяжении всего доказательства.

Кажется, это вполне естественно: вы выдвинули некий тезис и доказываете его. Однако иногда случается так, что в процессе доказательства выдвинутый тезис незаметно – для слушателей, а то и для самого доказывающего – заменяется другим положением. Эта ошибка так и называется – «подмена тезиса». Ее порой весьма трудно обнаружить, особенно когда тезис подменяется похожим w и близким положением. Подмена тезиса опасна тем, что с ее помощью можно создать иллюзию доказанности утверждения, которое не было доказано, которое нельзя доказать, которое, наконец, просто ложно. Сознательная подмена тезиса часто лежит в основе демагогии и софистики.

Скажем, приятель доказывает мне, что я должен бросить курить. И в качестве аргументов приводит данные о том, что капля никотина убивает лошадь, что многие курильщики умирают от рака легких и т.п. Кажется, он прав. Но ведь он доказывает совсем не тот тезис! Он доказывает, что курение вредно для здоровья, а вовсе не то, что именно я должен бросить курить. Так бывает часто в наших разговорах.

Иногда совершают ошибку, называемую «потерей тезиса»: доказывающий настолько увлекается перечислением своих аргументов, что забывает о тезисе. После долгих рассуждений он вдруг останавливается, хлопает себя по лбу и восклицает:

«А к чему я все это говорю, что я доказываю?» Он потерял тезис.

Конечно, тезис можно изменять. Это часто случается в конструктивной дискуссии, когда оппоненты постепенно уточняют и проясняют свои первоначальные позиции. Важно лишь фиксировать такие изменения и не выдавать более позднее утверждение за первоначальный тезис.

4) «Не счесть алмазов в каменных пещерах, не счесть жемчужин в море полуденном…», – поется о далекой Индии в опере «Садко». У одного восточного владыки было 10 мудрецов-советников. Однако дела в государстве шли неважно. И вот приехал как-то к нему в гости величайший мудрец того времени. Пожаловался ему падишах, что есть у него 10 мудрецов-советников, а дела обстоят не очень хорошо. Может быть, они и не мудры вовсе? «Давай устроим им испытание», – предложил гость.

И вот как-то утром призывает падишах, своих советников, ставит перед каждым из них шкатулку и говорит: «У меня в руках мешочек с рубинами и изумрудами. Сейчас я положу каждому из вас в шкатулку рубин или изумруд. Тот, в чью шкатулку я кладу камень, отворачивается и не видит, какой камень ему положен. Но зато он видит, какие камни я кладу всем остальным. Я положу хотя бы один рубин и хотя бы один изумруд. Вы должны догадаться, какой камень лежит у вас в шкатулке».

Разложил падишах камни и, выждав некоторое время, обратился к стоящим мудрецам: «Выйдите вперед те, кому в шкатулку я положил изумруд!» Никто не шелохнулся. «У кого в шкатулке изумруд – выходи!», – второй раз воскликнул падишах. Опять никто не вышел. «Кому я положил изумруд – выходи!», – в третий раз воззвал падишах, но опять никто не вышел. Разгневался падишах на глупость своих советников, но гость его успокоил: «Подожди, попробуй еще раз». В четвертый раз вскричал падишах: «Кому в шкатулку я положил изумруд – выходи!» И вот здесь-то 4 мудреца вышли вперед, открыли свои шкатулки и… действительно, в каждой из них лежал изумруд! В шкатулках остальных мудрецов оказались рубины.

Как мудрецы догадались, какой камень лежит в их шкатулке? Почему они вышли только после 4-го приглашения? Повторяю: каждый из них видел, что положили в шкатулку другим, но не видел, что положили ему самому; они знали, что хотя бы 1 изумруд и 1 рубин положены в шкатулки.