Представление информации в двоичном коде. Единицы измерения информации в двоичной системе счисления. Выполнение арифметических действий в двоичной системе счисления.

Алгебраическое представление двоичных чисел

Двоичная система счисления является комбинацией двоичной системы кодирования и показательной весовой функции с основанием равным 2. Положительные целые числа (без знака) записываются в виде:

где:

· — представляемое число, первый индекс — основание системы кодирования (размерность множества цифр a={0,1}), второй индекс — основание весовой показательной функции b (вдвоично-десятичном кодировании b=10),

· — запись числа, строка цифровых знаков,

· — обозначение основания системы кодирования и основания системы счисления,

· — количество цифр (знаков) в числе x_2,2,

· — порядковый номер цифры,

· — цифры числа x_2,2 из множества a={0,1}, в двоичной системе счисления основание системы кодирования равно 2,

· — основание показательной весовой функции, основание системы счисления,

· — весовая показательная функция, создающая весовые коэффициенты.

Количество записываемых кодов (чисел) зависит от основания системы кодирования — c, определяется в комбинаторике и равно числу размещений с повторениями:

где:

· — основание системы кодирования (размерность 2-х элементного множества a={0,1} из которого берутся цифры a_k), n — число элементов (цифр) в числе x_2,b.

Количество записываемых кодов (чисел) от основания показательной функции — b не зависит.
Основание показательной функции — b определяет диапазон представляемых числами x_2,b величин и разреженность представляемых чисел на числовой оси.

Целые числа являются частными суммами степенного ряда:

в котором коэффициенты a_n берутся из множества R=a{0,1}, X=2, n=k, а верхний предел в частных суммах ограничен с до — n-1.

Целые числа со знаком записываются в виде:

где:

· — знак числа из множества z={+,-}, у положительных целых чисел знак зачастую опускается.

Дробные числа записываются в виде:

где:

· — число цифр дробной части числа,

· — весовые коэффициенты из множества ,

· основание системы кодирования равно 2,

· — основание показательной весовой функции, основание системы счисления.

Следует отметить, что число может быть записано в двоичном коде, а система счисления при этом может быть не двоичной, а с другим основанием. Пример: двоично-десятичное кодирование, в котором десятичные цифры записываются в двоичном виде, а система счисления — десятичная.

Сложение, вычитание, умножение и деление(New) двоичных чисел

Таблица сложения

+
		10(перенос в старший разряд)

Таблица вычитания

-
	(заём из старшего разряда) 1

Пример сложения «столбиком» (14₁₀ + 5₁₀ = 19₁₀ или 1110₂ + 101₂ = 10011₂):

+

Таблица умножения

×

Пример умножения «столбиком» (14₁₀ * 5₁₀ = 70₁₀ или 1110₂ * 101₂ = 1000110₂):