Квантовые свойства атомов, молекул и твердых тел

Основные формулы и законы

 

· Волновые функции связанных состояний (Е < 0) атома водорода имеют вид:

,

где n – главное квантовое число (n = 1, 2, 3, …), – орбитальное (азимутальное) квантовое число ( = 0, 1, 2, …, (n – 1)), m – магнитное квантовое число (m = 0, ±1, ±2, …, ± ), - радиальные функции, а - сферические функции.

Квантовые числа n, , m являются характеристиками микросостояния частицы, в том числе и электрона в атоме водорода, и появляются при решении нерелятивистского уравнения Шредингера.

· Квантовое магнитное спиновое число m_s (m _s=±1/2) электрона появляется лишь при решении релятивистского уравнения Дирака, т. е. спин является релятивистской характеристикой.

· Принцип Паули: в атоме два электрона не могут находиться в одном и том же квантовом состоянии (определяемом набором четырех квантовых чисел n, , m, m _s).

· Электронная конфигурация атома в основном состоянии 1s² 2s² 2p⁶ 3s² 3p⁶ 3d¹⁰…, где числа (n = 1, 2, 3, …) соответствуют главному квантовому числу, которое задает электронные слои (оболочки) K, L, M, N, …, а буквы латинского алфавита s, p, d, f соответствуют орбитальному квантовому числу ( = 0, 1, 2, 3), которое задает s, p, d, f - состояния (электронные подоболочки) атома, числа над s, p, d, f соответствуют числу электронов в соответствующих состояниях.

· Закон Мозли

,

где – характеристические частоты спектра; R=3,29∙10¹⁵1/с – постоянная Ридберга; z – заряд ядра атома в относительных единицах;
σ - постоянная экранирования; m и n – квантовые числа, соответствующие энергетическим уровням, между которыми совершается переход электрона в атоме.

· При σ=0 формула закона Мозли обращается в формулу, описывающую линейчатые спектры водородоподобных атомов

.

При σ = 0 и z = 1 формула закона Мозли совпадает с обобщенной формулой Бальмера для линейчатого спектра атома водорода.

· Частоты излученного или поглощенного электромагнитного кванта молекулярного спектра

= (∆ W_эл. + ∆ W_кол. + ∆ W_вр.),

где ∆W_эл., ∆W_кол. и ∆W_вр. – разности энергий двух соответственно электронных, колебательных и вращательных уровней.

· Средняя энергия квантового одномерного осциллятора

,

где - нулевая энергия; - постоянная Планка; - круговая частота колебаний осциллятора; k – постоянная Больцмана; T – термодинамическая температура.

· Молярная внутренняя энергия системы, состоящей из невзаимодействующих квантовых осцилляторов

,

где – молярная газовая постоянная; = – характеристическая температура Эйнштейна.

· Молярная теплоемкость кристаллического твердого тела в области низких температур (предельный закон Дебая)

(T << ),

где = - характеристическая температура Дебая.

· Распределение свободных электронов в металле по энергия при 0 К

,

где - концентрация электронов, энергия которых заключена в пределах от Е до Е + dЕ; m – масса электрона. Это выражение справедливо при Е < Е_F (Е_F – энергия или уровень Ферми).

· Энергия Ферми в металле при Т = 0 К

,

где n – концентрация электронов в металле.

· Средняя энергия электронов

.

· Удельная проводимость собственных полупроводников

,

где – ширина запрещенной зоны; - константа.

· Сила тока в p-n - переходе

,

где _o – предельное значение силы обратного тока; U – внешнее напряжение, приложенное к p-n - переходу.

· Связь между глубиной потенциальной ямы и работой выхода из металла и полупроводника.

,

где - максимальная энергия электрона в яме.

· Внутренняя контактная разность потенциалов

,

где и - энергия Ферми соответственно для первого и второго металла или полупроводника; е - заряд электрона.

 

Задания

 

4.36.Уравнение Шредингера для стационарных состояний электрона, находящегося в атоме водорода, задается в декартовых координатах уравнением . Представьте: 1) собственные значения энергии, удовлетворяющие уравнению; 2) график потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром; 3) возможные дискретные значения энергии на этом графике. 1) , n = 1, 2, 3, … 2), 3) См. рисунок справа.

4.37. От каких квантовых чисел зависят соответственно радиальная и сферическая функции, входящие в волновую функцию связанных состояний атома водорода?

А. [n, ; ,m] B. [n,m; ,m_s] C. [n, m_s; ,n]

4.38.На рисунке справа схематически представлена система энергетических уровней атома водорода. Правилами отбора запрещены переходы: А. [3s→2s] B.[4s→3p] C. [2p→2s] D.[4f→3p]

4.39. Пользуясь условными обозначениями состояний электрона в атоме водорода, запишите переходы, приводящие к возникновению серии Бальмера.

A. [ns→2p; nd→2p] (n = 3, 4, …) B. [np→1s] (n = 2, 3, …)
C. [nf→3d] (n = 4, 5, …)

4.40.Постройте и объясните диаграмму, иллюстрирующую расщепление энергетических уровней и спектральных линий (с учетом правил отбора) при переходах между состояниями с = 1 и = 2. p – состояние: s – состояние:

4.41. Нормированная волновая функция, описывающая 1s – состояние электрона в атоме водорода, имеет вид , где – первый боровский радиус. Определите среднюю потенциальную энергию электрона в поле ядра.

[ – 27,2 эВ]

4.42. Определите, во сколько раз орбитальный момент импульса электрона, находящегося в d – состоянии, больше, чем для электрона в
p – состоянии.

А. [1,73] B. [2,43] C. [∞] D. [3,33]

4.43. Запишите электронную конфигурацию атома фосфора с вакансией в 2p – подоболочке.

А. [1s² 2s² 2p⁵ 3s² 3p³] B. [1s² 2s² 2p⁶ 3s² 3p²] C. [1s² 2s² 2p⁶ 3s¹ 3p³]

4.44. Запишите квантовые числа, определяющие внешний, или валентный, электрон в основном состоянии атома алюминия.

А. [n = 3, = 1, m = 0, ±1; m_s = ±1/2]
B. [n = 3, = 0, m = 0; m_s = ±1/2]

4.45. Определите наименьшую длину волны рентгеновского излучения, если рентгеновская трубка работает при напряжении U = 30 кВ.

А. [41,3 пм] B. [20,6 пм] C. [10,3 пм] D. [8,3 пм]

4.46. Считая, что формула закона Мозли с достаточной степенью точности дает связь между характеристическими частотами рентгеновского спектра и порядковым номером элемента, из которого сделан антикатод, найдите наибольшую длину волны К-серии рентгеновских лучей, даваемых трубкой с антикатодом из: 1) железа, 2) меди, 3) молибдена, 4) серебра, 5) тантала, 6) вольфрама, 7) платины. Для К – серии постоянная экранирования = 1.

[1) 194 пм; 2) 154 пм; 3) 71,2 пм; 4) 56,3 пм; 5) 22 пм; 6) 21,4 пм;7) 19 пм]

4.47. Определите постоянную экранирования для L – серии рентгеновских лучей, если известно, что при переходе электрона в атоме вольфрама с М – на L – слой испускаются рентгеновские лучи с длиной волны 143 пм.

А. [ = 5,5] B. [ = 0] C. [ = 1] D. [ = 0,5]

4.48. Определите порядковый номер элемента в периодической системе элементов Д.И. Менделеева, если граничная (наибольшая) частота К – серии характеристического рентгеновского излучения составляет 5,55∙10¹⁸ Гц.

А. [z = 42, молибден] В. [z = 56, барий]

4.49. При переходе электрона в атоме с L – на К – оболочку испускаются рентгеновские лучи с длиной волны 78,8 пм. Какой это атом? Для К – серии постоянная экранирования = 1.

А. [z = 40, цирконий] В. [z = 53, йод] С. [z = 30, цинк]

4.50. В излучении звезды обнаружен водородоподобный спектр, длины волн которого в 4 раза меньше, чем у атомарного водорода. Определите элемент, которому принадлежит данный спектр.

А. [z = 2, гелий] В. [z = 3, литий] С. [z = 4, бериллий]

4.51. Молекулярные спектры состоят из трех видов полос:
1) вращательных; 2) колебательно-вращательных и 3) электронно-колебательных, которые в свою очередь состоят из большого числа тесно расположенных линий. В эксперименте и в теории проявляется значительное различие в разности энергий двух соответственно электронных, колебательных и вращательных уровней, между которыми разрешены переходы электрона в соответствии с правилами отбора, причем ∆W_эл.>∆W_кол.>∆W_вр. Определите, какие полосы будут наблюдаться соответственно на 1) длинноволновой и 2) коротковолновой границах молекулярного спектра при возбуждении всех приведенных выше полос полосатого спектра молекулы.

А. [1) вращательные; 2) электронно-колебательные]

В. [1) колебательно-вращательные; 2) электронно-колебательные]

С. [1) вращательные; 2) колебательно-вращательные]

4.52. Высокая монохроматичность лазерного излучения обусловлена относительно большим временем жизни электронов в метастабильном состоянии ~ 10^-3 с. Учитывая, что постоянная Планка
= 0,66∙10^-15 эВ, определите ширину метастабильного уровня.

А. [0,33∙10^-12 эВ] В. [1,5∙10^-12 эВ]
С. [0,33∙10^-18 эВ] D. [1,5∙10^-18 эВ]

4.53. Система, состоящая из N = 10²⁰ трехмерных осцилляторов, находится при температуре ( = 250 К). Определить энергию системы.

А. [1,49 Дж] В. [0,49 Дж] С. [2,49 Дж] D. [1,20 Дж]

4.54. Используя квантовую теорию теплоемкости Эйнштейна, определите удельную теплоемкость при постоянном объеме алюминия при температуре 200 К. Характеристическую температуру Эйнштейна принять для алюминия равной 300 К.

А. [770 Дж/кг∙К] В. [257 Дж/кг∙К] С. [1540 Дж/кг∙К]

4.55. Определите теплоту, необходимую для нагревания кристалла калия массой 200 г от температуры T₁ = 4 К до температуры T₂ = 5 К. Принять характеристическую температуру Дебая для калия = 100 К и считать условие T << выполненным.

А. [0,92 Дж] В. [1,84 Дж] С. [0,31 Дж] D. [9,2 Дж]

4.56. Определите в электронвольтах максимальную энергию фонона, который может возбуждаться в кристалле калия, характеризуемом температурой Дебая = 100 К.

А. [0,0086 эВ] В. [0,025 эВ] С. [0,03 эВ] D. [0,0043 эВ]

4.57. Оцените среднюю энергию свободных электронов в металлах при абсолютном нуле температур, если средняя концентрация электронов проводимости в металлах составляет 5∙10²⁸ м^-3.

А. [3 эВ] В. [5 эВ] С. [6 эВ] D. [9 эВ]

4.58. Металлы литий и цинк приводят в соприкосновение друг с другом при температуре Т = 0 К. Чему будет равна возникшая контактная разность потенциалов? Какой из этих металлов будет иметь более высокий потенциал? ( _Li = 0,53∙10³ кг/м³; _Zn = 7,15∙10³ кг/м³).

A. [U₁₂ = 0,8 B; Li] B. [U ₁₂ = 0,01 B; Zn]
C. [U ₁₂ = 8 B; Li] D. [U ₁₂ = 0,1 B; Zn]

4.59. Докажите, что уровень Ферми в собственном полупроводнике действительно расположен в середине запрещенной зоны.

A. [E_F = ] B. [E_F = ] C. [E_F = ]

4.60. Кремниевый образец, ширина запрещенной зоны в котором равна 1,1 эВ, нагревают от температуры t₁ = 0 ^оС до температуры t₂ = 10 ^оС. Во сколько раз возрастает его удельная проводимость ?

A. [в 2,28] B. [в 0,23] С. [в 22,8] D. [в 1,14]

4.61. При нагревании германиевого кристалла от температуры 0 ^оС до температуры 10 ^оС его удельная проводимость возрастает в 1,49 раза. По приведенным данным определите ширину запрещенной зоны кристалла германия.

А. [0,72 эВ] В. [1,1 эВ] С. [1,5 эВ] D. [4,7 эВ]

4.62. Предположим, что p - n – переход находится при 0 ^оС и при прямом напряжении 0,1 В, a его сопротивление равно 10 Ом. Каково сопротивление перехода, если поменять полярность напряжения?

А. [692 Ом] В. [6920 Ом] C. [69,2 Ом] D. [138,4 Ом]

4.63. Прямое напряжение, приложенное к p - n – переходу, равно
0,1 В. Во сколько раз возрастет сила тока через переход, если изменить температуру от Т₁ = 300 К до Т ₂ = 273 К?

[ = 1,1]

4.64. Глубина потенциальной ямы U металла составляет 10 эВ, а максимальная энергия электрона Е_max, отсчитанная от дна ямы, равна
6 эВ. Определите уровень Ферми Е_F и работу выхода А электрона в этом металле.

А. [Е_F = 6 эВ; А = 4 эВ] В. [Е_F = 4 эВ; А = 6 эВ] C. [Е_F = 3 эВ; А = 2 эВ]

4.65. На рисунке изображены зонные схемы полупроводников разного типа проводимости. Какая схема соответствует полупроводникам p – типа и n – типа примесной проводимости и собственной проводимости.

A. [c, b, a] B. [a, b, c] C. [b, a, c] D. [c, a, b]