Элементы квантовой физики атомов, молекул и твердых тел

Теория атома водорода по Бору

Основные формулы и законы

· Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний)

(n = 1, 2, 3,…),

где m_e = 9,1∙ 10^{-31 кг – масса электрона, – скорость электрона на} n – й орбите, радиус которой равен r_n, h = 6,62 ∙ 10^-34 Дж∙с – постоянная Планка.

· Второй постулат Бора (правило частот)

,

где E_n, E_m – энергии стационарных состояний атома соответственно до и после излучения (поглощения), – частота излученного (поглощенного) кванта энергии.

· Обобщенная формула Бальмера, описывающая серии в спектре водорода:

,

где – частота спектральных линий в спектре атома водорода;
= 3,29 ∙ 10¹⁵ 1/с - постоянная Ридберга; m – определяет серию линий в спектре атома водорода:

m = 1 - серия Лаймана (расположена в ультрафиолетовой части спектра);

m = 2 - серия Бальмера (расположена в видимой части спектра);

m = 3 - серия Пашена; m = 4 - серия Брэкета; m = 5 - серия Пфунда; m = 6 - серия Хэмфри.

расположены в инфракрасной части спектра

n = m + 1 – определяет отдельные линии соответствующей серии m.

· Радиус n – й орбиты электрона в атоме водорода:

,

где ћ = h/2 = 1,055∙10^-34 Дж ∙ с - постоянная Планка; ε_о = 8,85∙10^-12 Ф/м - электрическая постоянная; е = 1,6∙10^-19 Кл – заряд электрона, m_e - масса электрона.

· Энергия n – го стационарного состояния

,

где n – номер стационарной орбиты.

· Энергия электрона в атоме водорода:

,

где Е_i – энергия ионизации атома водорода.

· Потенциал ионизации

· Потенциал возбуждения

.

Задания

4.1. Определите радиусы первых трех стационарных орбит в атоме водорода.

А. [0,53∙10^{-10 м; 2,12∙10-10 м; 4,77∙10-10} м]

B. [4,77∙10^{-10 м; 0,53∙10-10 м; 2,12∙10-10} м]

C. [0,53∙10^{-10 м; 4,77∙10-10 м; 2,12∙10-10} м]

D. [2,12∙10^{-10 м; 0,53∙10-10 м; 0,75∙10-10} м]

4.2. Определите скорости электрона на первых трех стационарных орбитах.

A. [2,19∙10⁶ м/c; 1,1∙10⁶ м/c; 0,73∙10⁶ м/c]

B. [3,1∙10⁶ м/c; 5,2∙10⁶ м/c; 7,3∙10⁶ м/c]

C. [0,1∙10⁶ м/c; 0,3∙10⁶ м/c; 0,5∙10⁶ м/c]

D. [1,0∙10⁶ м/c; 0,7∙10⁶ м/c; 0,4∙10⁶ м/c]

4.3. Определите период обращения электрона на первой стационарной орбите в атоме водорода.

A. [1,43∙10^-16 c] B. [2,86∙10^-16 c]

C. [4,86∙10^-16 c] D. [5,86∙10^-16 c]

4.4. Определите угловую скорость электрона на первой стационарной орбите в атоме водорода.

A. [4,4∙10¹⁶ рад/c] B. [5,6∙10¹⁶ рад/c]

C. [6,7∙10¹⁶ рад/c] D. [7,8∙10¹⁶ рад/c]

4.5. Определите кинетическую, потенциальную и полную энергии электрона на первой стационарной орбите в атоме водорода.

A. [21,76∙10^-19 Дж; - 43,52∙10^-19 Дж; - 21,76∙10^-19 Дж]

B. [- 21,76∙10^-19 Дж; 43,52∙10^-19 Дж; 21,76∙10^-19 Дж]

C. [31,76∙10^-19 Дж; 41,75∙10^-19 Дж; 53,76∙10^-19 Дж]

D. [21,76∙10^-19 Дж; 43,52∙10^-19 Дж; 21,76∙10^-19 Дж]

4.6. Определите наибольшую и наименьшую длины волн в серии Лаймана.

A. [121,6 нм; 91,2 нм] В. [102,6 нм; 91,2 нм]

C. [656,3 нм; 102,6 нм] D. [434,0 нм; 121,6 нм]

4.7. Определите наибольшую и наименьшую частоты волн в серии Бальмера.

A. [0,82∙10¹⁵ Гц; 0,45∙10¹⁵ Гц] В. [3,29∙10¹⁵ Гц; 2,46∙10¹⁵ Гц]

C. [3,29∙10¹⁵ Гц; 0,82∙10¹⁵ Гц] D. [2,46∙10¹⁵ Гц; 0,82∙10¹⁵ Гц]

4.8. Определите потенциал ионизации и первый потенциал возбуждения атома водорода.

A. [13,6 В; 10,2 В] В. [10,2 В; 13,6 В]

C. [21,1 В; 15,3 В] D. [27,2 В; 20,4 В]

4.9. Максимальная длина волны спектральной линии в серии Лаймана равна 0,122 мкм. Полагая, что постоянная Ридберга неизвестна, определите максимальную длину волны в серии Бальмера.

A. [0,656 мкм] В. [0,852 мкм] С. [0,102 мкм] D. [0,486 мкм]

4.10. 1). Какую наименьшую энергию (в электронвольтах) должны иметь электроны, чтобы при возбуждении атомов водорода ударами этих электронов появились все линии всех серий спектра водорода?
2). Какую наименьшую скорость должны иметь эти электроны?

A. [13,6 эВ; 2,2 ∙10⁶ м/с] В. [10,2 эВ; 1,8 ∙10⁶ м/с]

С. [27,2 эВ; 3,1 ∙10⁶ м/с] D. [10,2 эВ; 2,2 ∙10⁶ м/с]

4.11*. Используятеорию Бора, определите орбитальный магнитный момент электрона, движущегося по первой орбите атома водорода.

A. [0,93∙10^-23 А∙м²] В. [2,8∙10^-23 А∙м²]
С. [1,8∙10^-23 А∙м²] D. [0,45∙10^-23 А∙м²]

4.12. Предполагая, что в опыте Франка и Герца вакуумная трубка наполнена не парами ртути, а разреженным атомарным водородом, определите, через какие интервалы ускоряющего потенциала возникнут максимумы на графике зависимости силы анодного тока от ускоряющего потенциала.

A. [10,2 В] В. [4,9 В] C. [13,6 В] D. [9,8 В]

4.13*. Атомарный водород освещается ультрафиолетовым излучением с длиной волны 100 нм. Определите, какие спектральные линии появятся в спектре излучения атомарного водорода.

A. [λ_1,2 = 121,6 нм; λ _1,3 = 102,6 нм; λ _2,3 = 656,3 нм]

В. [λ _2,3 = 656,3 нм; λ _2,4 = 486 нм; λ _2,5 = 434 нм]

С. [λ _1,2= 121,6 нм; λ _2,3= 656,3 нм; λ _2,4 = 486 нм]

D. [λ _1,2 = 121,6 нм; λ _1,3 = 102,6 нм; λ _2,4 = 486 нм]

4.14. В спектре излучения атомарного водорода интервал между двумя линиями, принадлежащими серии Бальмера, составляет
1,71∙10^{-7 м. Определите с помощью этой величины постоянную Ридберга.}

4.15. Основываясь на том, что энергия ионизации атома водорода равна 13,6 эВ, определите в электронвольтах энергию фотона, соответствующую самой длинноволновой линии серии Пашена.

A. [0,48 эВ] В. [1,89 эВ] C. [10,2 эВ] D. [6,31 эВ]

 

 

Элементы квантовой механики

Основные формулы и законы

 

· Длина волны де Бройля

,

где – постоянная Планка, p – импульс частицы.

· Связь импульса частицы с кинетической энергией Т

,

где m – масса частицы. При малых скоростях .

· Соотношение неопределенностей Гейзенберга

,

где , - соответственно неопределенности координаты, импульса, энергии и времени, ħ = h / .

· Нестационарное уравнение Шредингера

.

· Уравнение Шредингера для стационарных состояний

,

где – волновая функция микрочастицы, - полная энергия микрочастицы, = - потенциальная энергия частицы, - пространственная координата ( = ), t – время,
∆ = - оператор Лапласа (записан в декартовых координатах), m – масса микрочастицы, ћ – постоянная Планка, = - мнимая единица.

· Одномерное уравнение Шредингера для стационарных состояний

.

· Условие нормировки волновой функции

.

· Плотность вероятности

,

где dW(x) –вероятность того, что частица может быть обнаружена вблизи точки с координатой х на участке dх.

· Вероятность обнаружения частицы в интервале от х₁ до х₂

.

· Решение уравнения Шредингера для одномерного, бесконечно глубокого, прямоугольного потенциального ящика шириной
(0 ≥ x ≥ )

(собственная нормированная волновая функция)

(собственное значение энергии),

где n – главное квантовое число (n = 1, 2, 3,…). В области 0 ≥ x ≥
= ∞ и = 0.

· Коэффициент прозрачности прямоугольного потенциального барьера

,

где - коэффициент прозрачности барьера (коэффициент прохождения).

· Энергия квантового осциллятора

,

где n – главное квантовое число (n = 0, 1, 2,…), - циклическая чачтота.

· Для частиц с целочисленными спинами (бозонов) справедлива статистика Бозе-Эйнштейна, а для частиц с полуцелыми спинами (фермионов) справедлива статистика Ферми-Дирака. Обобщенное уравнение для квантовых статистик

,

где - среднее число частиц в состоянии с номером , E _i - энергия частицы в этом состоянии; μ – так называемый химический потенциал, определяемый из условия = N _i, т. е. сумма всех частиц равна полному числу N частиц в системе, знак минус (-) перед единицей в знаменателе соответствует статистике бозонов (распределению Бозе-Эйнштейна, а знак плюс (+) соответствует статистике фермионов (распределению Ферми -Дирака).

 

Задания

 

4.16. Вычислите длину волны де Бройля для протона, прошедшего разность потенциалов U = 10 В.

A. [9,1 пм] В. [91 пм] С. [0,91 пм] D. [4,55 нм]

4.17. При какой скорости электрона дебройлевская длина волны будет равна: а) 500 нм; б) 0,1 нм? (В случае электромагнитных волн первая длина волны соответствует видимой части спектра, вторая – рентгеновским лучам).

A. [1,46 ∙10³ м/с; 0,73 ∙10⁷ м/с] В. [0,73 ∙10³ м/с; 1,46∙10⁷ м/с]

С. [2,92 ∙10³ м/с; 1,46 ∙10⁷ м/с] D. [1,46 ∙10⁷ м/с; 2,92 ∙10³ м/с]

4.18. Кинетическая энергия электрона равна удвоенному значению его энергии покоя. Вычислите длину волны де Бройля для такого электрона.

A. [86 пм] В. [43 пм] С. [172 пм] D. [344 пм]

4.19. На грань кристалла никеля падает под углом 64^о к поверхности грани параллельный пучок электронов, движущихся с одинаковой скоростью. Принимая расстояние между атомными плоскостями кристалла равным 200 пм, определите скорость электронов, если они испытывают дифракционное отражение первого порядка.

A. [2 Мм/с] В. [1 Мм/с] С. [0,5 Мм/с] [4 Мм/с]

4.20. Скорость протона составляет (8,880 ± 0,012)∙10⁵ м/с. С какой максимальной точностью можно измерить его положение?

A. [13 пм] В. [26 пм] С. [65 пм] D. [40 пм]

4.21. Исходя из того, что радиус атома имеет величину порядка 0,1 нм, оцените скорость движения электрона в атоме водорода.

A. [∆ = 5,8 ∙10⁵ м/с; ~10⁶ м/с] В. [∆ = 5,8 ∙10⁶ м/с; ~10⁷ м/с]

С. [∆ = 5,8 ∙10⁴ м/с; ~10⁵ м/с] D. [∆ = 11,6 ∙10⁶ м/с; ~10⁷ м/с]

4.22. Пуля массой 12 г вылетает из ружейного ствола со скоростью
450 м/с. Положение пули известно с точностью до 0,55 см (радиус ствола). Какая длина волны соответствует пуле и чему равна минимальная определенность ее скорости?

A. [ 1,2 ∙10^{-34 м; 8∙10-31} м/с] В. [ 1,2 ∙10^{-31 м; 8∙10-34} м/с]

С. [ 6 ∙10^{-34 м; 1,6∙10-31} м/с] D. [ 2,4 ∙10^{-34 м; 10-32} м/с]

4.23*. Длина волны излучаемого атомом водорода фотона равна
121,6 нм. Принимая время жизни возбужденного состояния ∆t = 10^-8 с, определите отношение естественной ширины энергетического уровня, на который был возбужден электрон, к энергии, излученной атомом.

A. [ = 3∙10^-9] B. [ = 3∙10^-7]
C. [ = 3∙10^-5] D. [ = 5∙10^-6]

4.24. Волновая функция, описывающая движение электрона в основном состоянии атома водорода, имеет вид: , где А – нормировочный коэффициент волновой функции, r – расстояние электрона от ядра, – первый боровский радиус. Определите наиболее вероятное расстояние электрона от ядра в основном состоянии.

А. [ ] В. [ /2] С. [ 2 ] D. [ ]

4.25*. Волновая функция, описывающая движение микрочастицы, имеет вид: , где – нормировочный коэффициент волновой функции, r – расстояние этой частицы до силового центра, – некоторая постоянная, имеющая размерность длины. Определите среднее расстояние частицы от силового центра.

А. [ = ] В. [ = ] С. [ = 2 ] D. [ = ]

4.26. Запишите стационарное уравнение Шредингера для свободной частицы, которая движется вдоль оси , а также определите посредством его решения собственные значения энергии. Что можно сказать об энергетическом спектре свободной частицы?

А.[ , спектр непрерывный] В.[ , спектр дискретный]

С.[ , спектр дискретный] D.[ ,спектр дискретный]

4.27. Электрон в бесконечно глубоком одномерном прямоугольном потенциальном ящике находится в основном состоянии. Какова вероятность обнаружения электрона в средней трети ящика?

А. [0,609] В. [0,5] С. [0,195] D. [0,091]

4.28. Волновая функция описывает основное состояние частицы в бесконечно глубоком прямоугольном потенциальном ящике шириной . Вычислите вероятность нахождения частицы в малом интервале ∆ = 0,2 в двух случаях: 1) вблизи стенки ; 2) в средней части ящика .

А. [0,052; 0,4] В. [0,026; 0,2] С. [0,1; 0,4] D. [0,052; 0,8]

4.29. Электрон находится в бесконечно глубоком одномерном прямоугольном потенциальном ящике шириной . Вычислите наименьшую разность энергий двух соседних энергетических уровней
(в электронвольтах) электрона в двух случаях: 1) = 1 мкм; 2) = 0,1 нм.

A. [1,1∙10^-12 эВ; 110 эВ] В. [1,1∙10^-16 эВ; 1,1 эВ]

C. [0,55∙10^-13 эВ; 55 эВ] D. [5,5∙10^-12 эВ; 1,1 эВ]

4.30.Вероятность обнаружить частицу на участке (a,b) одномерного потенциального ящика с бесконечно высокими стенками вычисляется по формуле . Если - функция имеет вид, указанный на рисунке справа, то вероятность обнаружить частицу на участке , где – ширина ящика, равна: A. [2/3] В. [1/3] С. [4/3] D. [5/6].

4.31. Пучок электронов с энергией Е = 15 эВ встречает на своем пути потенциальный барьер высотой U = 20 В и шириной = 0,1 нм. Определите коэффициент прозрачности потенциального барьера (коэффициент прохождения) D и коэффициент отражения R электронов от барьера (R + D = 1).

A. [D = 0,1; R = 0,9] В. [D = 0,9; R = 0,1]

С. [D = 0,5; R = 0,5] D. [D = 0,2; R = 0,8]

4.32. Частица массой m движется в одномерном потенциальном поле = (гармонический осциллятор). Собственная волновая функция основного состояния гармонического осциллятора имеет вид , где – нормировочный коэффициент; - положительная постоянная. Используя уравнение Шредингера, определите:
1) постоянную ; 2) энергию частицы в этом состоянии.

А. [ ; ] В. [ ; ]

С. [ ; ] D. [ ; ]

4.33. Покажите, что при kT >> E_i (малом параметре вырождения) квантовые распределения Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака переходят в классическое распределение Максвелла – Больцмана, то есть бозонный и фермионный газы приобретают свойства классического идеального газа.

А. [ << 1; ]

4.34. Для каких квантовых частиц характерна знаковая неоднозначность волновой функции и какие значения спина имеют эти частицы?

А. [фермионов; имеют полуцелые значения спина]

В. [бозонов; имеют целые значения спина]

4.35. Для каких квантовых частиц характерна знаковая однозначность волновой функции и какие значения спина имеют эти частицы?

А. [бозонов; имеют целочисленные значения спина]

В. [фермионов; имеют полуцелочисленные значения спина]