Функции нескольких переменных

Частные производные

Программные вопросы

1. Определение функции нескольких переменных.

2. Предел функции двух переменных и ее непрерывность.

3. Частные производные первого порядка.

4. Частные производные функции двух переменных второго и более высоких порядков.

Решение типового примера

 

Пример 9.1. Найти частные производные первого и второго порядка функции .

 

Решение. Найдем производные первого порядка.

При нахождении производной по переменной , переменная считается константой, а любую константу можно вынести за знак производной, следовательно, производная по переменной от первого слагаемого заданной функции будет равна: . Так как переменная считается константой, то и является константой и его производная будет равна нулю: . Таким образом, частная производная заданной функции по переменной равна:

.

При нахождении производной по переменной , переменная считается константой, тогда в первом слагаемом за знак производной вынесется : . Частная производная по переменной второго слагаемого . Тогда частная производная заданной функции по переменной равна:

.

Находим частные производные второго порядка. Для наглядности перепишем уже найденные частные производные первого порядка:

,

.

Для нахождения второй частной производной по переменной нужно первую производную еще раз продифференцировать по переменной :

.

Аналогично, чтобы найти вторую частную производную по переменной , дифференцируем снова по переменной :

.

Найдем смешанные производные и . Для того, чтобы найти берем частную производную и дифференцируем ее еще раз, но в данном случае – уже по переменной :

.

Для нахождения частную производную дифференцируем по переменной :

.

Так как = , то достаточно найти любую из смешанных производных.

 

Задачи контрольной работы

В заданиях 9.1.1-9.1.20 найти для заданных функций частные производные первого и второго порядков.

 

9.1.1. . 9.1.2. .

9.1.3. . 9.1.4. .

9.1.5. . 9.1.6. .

9.1.7. . 9.1.8. .

9.1.9. . 9.1.10. .

9.1.11. . 9.1.12. .

9.1.13. . 9.1.14. .

9.1.15. . 9.1.16. .

9.1.17. . 9.1.18. .

9.1.19. . 9.1.20. .

 

Производная по направлению

Программные вопросы

1. Определение производной по направлению вектора.

2. Связь производной по направлению с частными производными.

3. Формула для нахождения производной функции в заданной точке по направлению вектора.

Решение типового примера

Пример 9.2. Найти производную от функции в точке по направлению вектора .

 

Решение. Производную от функции в заданной точке по направлению вектора можно найти по формуле:

,

где , , - направляющие косинусы вектора , которые вычисляем по формулам:

; ; .

Вычислим длину вектора :

.

Следовательно, направляющие косинусы будут равны:

; ; .

Далее находим все частные производные первого порядка от заданной функции :

; ; .

Вычислим значения этих частных производных в точке :

,

,

.

Затем подставим полученные значения в формулу для нахождения производной по направлению в заданной точке:

.

Ответ. Производная от функции в точке по направлению вектора равна .

 

Задачи контрольной работы

В заданиях 9.2.1-9.2.20 найти производную от функции в точке по направлению вектора :

9.2.1. , , .

9.2.2. , , .

9.2.3. , , .

9.2.4. , , .

9.2.5. , , .

9.2.6. , , .

9.2.7. , , .

9.2.8. , , .

9.2.9. , , .

9.2.10. , , .

9.2.11. , , .

9.2.12. , , .

9.2.13. , , .

9.2.14. , , .

9.2.15. , , .

9.2.16. , , .

9.2.17. , , .

9.2.18. , , .

9.2.19. , , .

9.2.20. , , .

Градиент

Программные вопросы

1. Определение градиента скалярного поля.

2. Формула для нахождения градиента функции в заданной точке.

3. Свойства градиента.

Решение типового примера

Пример 9.3. Найти градиент функции в точке и его длину.

Решение. Градиент функции в точке вычисляется по формуле:

.

Сначала найдем все частные производные первого порядка от заданной функции:

; ; .

 

Далее вычислим значения этих частных производных первого порядка в точке :

,

,

.

Подставляя найденные значения в формулу градиента, получаем:

.

Находим его длину:

.

Ответ. Градиент функции в точке равен , длина .

Задачи контрольной работы

В заданиях 3.1-3.20 найти градиент функции в заданной точке и его длину.

 

9.3.1. , . 9.3.2. , .

9.3.3. , . 9. 3.4. , .

9.3.5. , . 9.3.6. , .

9.3.7. , 9.3.8. , .

9.3.9. , . 9.3.10. , .

9.3.11. , . 9.3.12. , .

9.3.13. , 9.3.14. , .

9.3.15. , . 9.3.16. , .

9.3.17. , . 9.3.18. , .

9.3.19. , . 9.3.20. , .