Тема 2. Международная система единиц (СИ)

Основными единицами (их семь) являются следующие: длина – метр, масса – килограмм, время – секунда, сила электрического тока – ампер, термодинамическая температура – кельвин, сила света – кандела, количество вещества – моль.

Основные единицы СИ с указанием сокращенных обозначений русскими и латинскими буквами приведены в табл. 1.

Таблица 1

Величина	Единица измерения	Сокращенное обозначение единицы
русское	международное
Длина	метр	м	m
Масса	килограмм	кг	kg
Время	секунда	с	s
Сила эл. тока	ампер	А	А
Термодин. темп - ра	кельвин	К	К
Сила света	кандела	кд	cd
Кол - во вещества	моль	моль	mol

Определения основных единиц, соответствующие решениям Генеральной конференции по мерам и весам, следующие.

Метр равен длине пути, проходимого светом в вакууме за 1/299792458 долю секунды.

Килограмм равен массе международного прототипа килограмма.

Секунда равна 9192631770 периодам излучения, соответствующего переходу между двумя сверхтонкими уровнями основного состояния атома цезия-133.

Ампер равен силе неизменяющегося тока, который при прохождении по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малой площади кругового сечения, расположенным на расстоянии 1 м один от другого в вакууме, вызывает на каждом участке проводника длиной 1 м силу взаимодействия, равную Н.

Кельвин равен 1/273.16 части термодинамической температуры тройной точки воды.

Моль равен количеству вещества системы, содержащей столько же структурных элементов, сколько содержится атомов в углероде-12 массой 0.012 кг.

Кандела равна силе света в заданном направлении источника, испускающего монохроматическое излучение частотой Гц, энергетическая сила света которого в этом направлении составляет 1/683 Вт/ср.

Дополнительные единицы СИ

Международная система единиц включает в себя две дополнительныеединицы - для измерения плоского и телесного углов.

Единица плоского угла - радиан (рад) - угол между двумя радиусами окружности, дуга между которыми по длине равна радиусу. В градусном исчислении радиан равен 57°17'48".

Стерадиан (ср), принимаемый за единицу телесного угла, - телесный угол, вершина которого расположена в центре сферы и который вырезает на поверхности сферы площадь, равную площади квадрата со стороной, по длине равной радиусу сферы.

Дополнительные единицы СИ использованы для образования единиц угловой скорости, углового ускорения и некоторых других величин.

Единицы СИ

Производные единицы Международной системы единиц образуются с помощью простейших уравнений между величинами, в которых числовые коэффициенты равны единице. Так, для линейной скорости в качестве определяющего уравнения можно воспользоваться выражением для скорости равномерного прямолинейного движения: v = l / t.

Единицы ФВ делятся на системные и внесистемные. Систем­ная единица – единица ФВ, входящая в одну из принятых систем. Все основные, производные, кратные и дольные единицы явля­ются системными. Внесистемная единица – это единица ФВ, не входящая ни в одну из принятых систем единиц. Внесистемные единицы по отношению к единицам СИ разделяют на четыре вида:

• допускаемые наравне с единицами СИ, например: единицы массы – тонна; плоского угла – градус, минута, секунда; объе­ма – литр и др.

• допускаемые к применению в специальных областях, напри­мер: астрономическая единица – парсек, световой год – единицы длины в астрономии; диоптрия – единица оптической силы в оптике; электрон-вольт – единица энергии в физике и т.д.;

• временно допускаемые к применению наравне с единицами СИ, например: морская миля – в морской навигации; карат – единица массы в ювелирном деле и др.;

• изъятые из употребления, например: миллиметр ртутного столба – единица давления; лошадиная сила – единица мощно­сти и некоторые другие.

Различают кратные и дольные единицы ФВ.

Кратная единица – это единица ФВ, в целое число раз превышающая системную или внесистемную единицу. Например, единица длины километр равна 10³ м, т. е. кратна метру.

Дольная единица –единица ФВ, значение которой в целое число раз меньше системной или внесистемной единицы. Например, единица длины миллиметр равна 10^{-3 м, т. е. является дольной. Приставки для образования кратных и дольных единиц приведены в табл..}

Таблица

Множитель	Приставка	Обозначение приставки
русское	международное
10^18	экса	Э	Е
10^15	пета	П	Р
10^12	тера	Т	Т
10^9	гига	Г	G
10^6	мега	М	М
10^3	кило	к	k
10^2	гекто	г	h
10^1	дека	да	da
10^-1	деци	д	d
10^-2	санти	с	c
10^-3	милли	м	m
10^-6	микро	мк
10^-9	нано	н	n
10^-12	пико	п	p
10^-15	фемто	ф	f
10^-18	атто	а	a

 

 

Тема: Погрешности измерений

Погрешностью измерения называют отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины.

Истинные значения физических величин – это значения, идеальным образом отражающие свойства данного объекта как в количественном, так и в качественном отношении.

Результаты измерений представляют собой приближенные оценки значений величин, найденные путем измерения. Они зависят от метода измерения, от технических средств, с помощью которых проводятся измерения, и от свойств органов чувств наблюдателя, осуществляющего измерения.

Поскольку истинное значение измеряемой величины неизвестно, то вместо истинного значения подставлять так называемое действительное значение.

Под действительным значением физической величины понимают ее значение, найденное экспериментально и настолько приближающееся к истинному, что для данной цели оно может быть использовано вместо него (принимают обычно показания эталонов).

Погрешности измерений классифицируются: по форме числового выражения, по источникам возникновения, по характеру проявлений.

По форме числового выражения погрешности измерений подразделяют на абсолютные и относительные. В зависимости от формы выражения различают абсолютную, относительную и приведенную погрешности измерения.

Абсолютная погрешность определяется как разность ∆ = х - х_д или ∆ = х-х_д, а относительная – как отношение:

 

Приведенная погрешность , где x_n –нормированное значение величины. Например, x_n = x_max, где х_mах – максималь­ное значение измеряемой величины.

В качестве истинного значения при многократных измерениях параметра выступает среднее арифметическое х_и значение:

.

Средняя арифметическая полученная в одной серии измерений, является случайным приближением к х_и. Для оценки ее возможных откло­нений от х_и определяют опытное среднее квадратическое откло­нение (СКО):

.

Среднее арифметическое из ряда измерений всегда имеет мень­шую погрешность, чем погрешность каждого определенного из­мерения. Из него следует, что если необходимо повысить точность результата (при исключенной си­стематической погрешности) в 2 раза, то число измерений нужно увеличить в 4 раза; если требуется увеличить точность в 3 раза, то число измерений увеличивают в 9 раз и т. д.

По источникам возникновения погрешности подразделяют на инструментальные (обусловлены свойствами средств измерений). методические (возникают вследствие несовершенства принятого метода измерений, допущений и упрощений при использовании эмпирических зависимостей) и субъективные (погрешности оператора).

По характеру проявлений погрешности измерений подразделяют на систематические и случайные.

Систематические погрешности остается постоянными или изменяются по определенному закону при повторных измерениях одной и той же величины. По характеру изменения во времени систематические погрешности подразделяют на постоянные и временные.

Случайные погрешности (в том числе грубые погрешности и промахи) изменяются случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины. Грубые погрешности – внезапное падение напряжения в сети электропитания. Промахи – погрешности, зависящие от наблюдателя и связанные с неправильным обращением со средствами измерений, неверным отсчетом показаний или ошибками при записи результатов.

В процессе измерения оба вида погрешностей проявляются одновременно, и погрешность измерения можно представить в виде суммы случайной и систематической погрешности.

 

При проведении измерений целью является оценка истинного значения измеряемой величины, которое до опыта неизвестно. Результат измерения включает в себя помимо истинного значения еще и случайную погрешность, следовательно, сам является случайной величиной. В этих условиях фактическое значение случайной погрешности, полученное при поверке, еще не характеризует точности измерений, поэтому не ясно, какое же значение принять за окончательный результат измерения и как охарактеризовать его точность.

Ответ на эти вопросы можно получить, используя при метрологической обработке результатов измерения методы математической статистики, имеющей дело именно со случайными величинами.

Факторы, определяющие возникновение случайных погрешностей, проявляются нерегулярно, в различных комбинациях и с интенсивностью, которую трудно предвидеть.

Наиболее универсальный способ описания случайных величин заключается в отыскании их интегральных или дифференциальных функций распределения.

Интегральной функцией распределения называют функцию, значение которой для каждого x является вероятностью появления значений Xi (в i -м наблюдении), меньших x.

График интегральной функции распределения результатов наблюдений представляет собой непрерывную неубывающую кривую, начинающуюся от нуля на отрицательной бесконечности и асимптотически приближающуюся к единице при увеличении аргумента до плюс бесконечности.

На рис. показаны примеры функций распределения вероятности.

Более наглядным является описание свойств результатов наблюдений и случайных погрешностей с помощью дифференциальной функции распределения, иначе называемой плотностью распределения вероятностей.

Свойство плотности распределения вероятности:

– вероятность достоверного события равна 1;
иными словами, площадь, заключенная между кривой дифференциальной функции распределения и осью абсцисс, равна единице.

Однако для наибольшего числа встречающихся на практике случайных величин можно ожидать распределение по так называемому закону нормального распределения (закону Гаусса).

На рис. изображены кривые нормального распределения случайных погрешностей для различных значений среднеквадратического отклонения .

Из рисунка видно, что по мере увеличения среднеквадратического отклонения распределение все более и более расплывается, вероятность появления больших значений погрешностей возрастает, а вероятность меньших погрешностей сокращается, т.е. увеличивается рассеивание результатов наблюдений.

В производственной практике часто считается необходимым выполнения следующего условия: допустимое предельное отклонение от заданного номинального размера должно быть не меньше интервала ±3σ. В этом случае в среднем одно из 370 изделий будет бракованным.

Обработка результатов измерений содержащих случайные погрешности.

При большом числе результатов наблюдений (n >40) данная задача решается в следующем порядке.

Весь диапазон полученных результатов наблюдений X _max... X _min разделяют на r интервалов (см. табл. далее) шириной ∆X_i (i = 1, 2, …, r) и подсчитывают частоты m_i, равные числу результатов, лежащих в каждом i -м интервале, т. е. меньших или равных его правой и больших левой границы.

Отношения P_i, называются частостями и представляют собой статистические оценки вероятностей попадания результата наблюдений в i -й интервал:

 

где n - общее число наблюдений

Распределение частот по интервалам образует статистическое распределение результатов наблюдений.

Отложим вдоль оси результатов наблюдений (рис.) интервалы ∆X_i в порядке возрастания индекса i и на каждом интервале построим прямоугольник с высотой, равной . Полученный график называется гистограммой статистического распределения.

Площадь суммы всех прямоугольников равна единице:

При увеличении числа наблюдений число интервалов можно увеличить. Сами интервалы уменьшаются, и гистограмма все больше приближается к плавной кривой, ограничивающей единичную площадь, – к графику плотности распределения результатов наблюдений.

При построении гистограмм рекомендуется пользоваться следующими правилами:

1. Число интервалов выбирается в зависимости от числа наблюдений согласно рекомендациям табл..

Таблица   n r 40 – 100 7 – 9 100 – 500 8 – 12 500 – 1000 10 – 16 1000 – 10000 12 – 22

2. Длины интервалов удобнее выбирать одинаковыми. Однако если распределение крайне неравномерно, то в области максимальной концентрации результатов наблюдений следует выбирать более узкие интервалы.

3. Масштабы по осям гистограммы должны быть такими, чтобы отношение ее высоты к основанию составляло примерно 5:8.