Задачи к контрольной работе № 1

1. Радиус-вектор материальной точки изменяется со временем по закону где А = 0,4 м/с², В = 0,1 м/с; и — орты координатных осей х и у. Определите выражения для и ; модули скорости и ускорения, тангенциальную и нормальную составляющие ускорения в момент времени t = 2 с.

2. Одно из тел бросили с высоты h₁ =18 м вертикально вверх, другое в тот же момент с высоты h₂ = 32 м бросили горизонтально. Определите начальную скорость первого тела, если оба тела на Землю упали одновременно.

3. Воздушный шар поднимается с Земли вертикально вверх с ускорением 0.9 м/с². Через 12 с после начала его движения пассажир уронил гайку. Определите время падения гайки на Землю; ее скорость в момент удара о Землю.

4. Тело брошено под углом а. к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите этот угол, если максимальная высота подъема h_max меньше дальности полета s в п = 2,4 раза.

5. С вершины наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол 37 , горизонтально брошен камень со скоростью 8 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите расстояние l до точки падения камня на наклонную плоскость и угол между вектором скорости камня в момент его падения и наклонной плоскостью.

6. Радиус-вектор материальной точки, движущейся в поле тяготения Земли, описывается уравнением где 76 м/с, ускорение свободного падения; орты координатных осей х и у. Определите момент времени после начала движения, когда вектор скорости точки направлен под углом 35 к горизонту. Чему равна скорость в этот момент времени?

7. Материальная точка начинает вращаться с постоянным угловым ускорением. Определите угловое ускорение точки, если через промежуток времени t = 5 с угол между векторами полного ускорения и скорости составляет 51°.

8. Диск радиусом R = 5 см вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угловой скорости от времени задается уравнением ( 2 рад/с², 1 рад/с⁵). Определите для точек на ободе диска к концу первой секунды после начала движения: 1) полное ускорение; 2) число оборотов, сделан­ных диском.

9. Скорость автомобиля (радиус колес R = 35 см), движущегося равнозамедленно, за время = 2 с уменьшилась с = 65 км/ч до = 46 км/ч. Определите угловое ускорение и число полных оборотов N колес за это время.

10. Вентилятор после выключения за время t = 5,5 с, двигаясь равнозамедленно, сделал до остановки N= 22 оборота. Определите угловую скорость и частоту вращения п вентилятора в рабочем режиме, а также угловое ускорение вентилятора .

11. Движение материальной точки массой т = 0,25 кг описывается уравнением где А = 2 м; = 0,7 рад/с; — орты координатных осей х и у. Определите путь s, пройденный точкой за время 8 с, и силу F, действующую на точку в конце указанного промежутка времени.

12. Шарик массой m = 200 г, подвешенный на нити длиной l = 56 см, совершает колебания в вертикальной плоскости. Сила натяжения нити Т, когда нить составляет угол 50° с вертикалью, равна 4,5 Н. Определите скорость шарика в этот момент времени.

13. Через блок, укрепленный на конце стола, перекинута нерастяжимая нить, к концам которой прикреплены грузы, один из которых (т ₁ = 400 г) движется по поверхности стола, а другой (т ₂ = 600 г) — вдоль вертикали вниз. Коэффициент трения f груза о стол равен 0,1. Считая нить и блок невесомыми, определите: 1) ус­корение а, с которым движутся грузы; 2) силу натяжения T нити.

14. Через невесомый блок перекинута невесомая нерастяжимая нить с грузами одинаковой массы 1,4 кг. На один из грузов положен перегрузок массой 0,2 кг. Считая, что грузы первоначально находились на одном уровне и пренебрегая трением, определите разность высот , на которых будут находиться грузы через промежуток времени t = 1 с.

15. Определите ускорения а₁ и а₂ тел и натяжение нитей Т и Т₁ в системе, представленной на рисунке. Масса одного тела т₁ = 0,6 кг, масса другого т ₂ = 0,4 кг. Нити невесомы и нерастяжимы, массой блока и силами трения пренебречь.

16. На наклонной плоскости с углом наклона 33° к горизонту находится брусок массой 2,3 кг, на который действует горизонтальная прижимающая сила . Определите коэффициент трения f между бруском и на­клонной плоскостью, если брусок начинает скользить, когда сила 7,5 Н.

17. Брусок массой 1,1 кг лежит на горизонтальной доске массой 3,2 кг. Коэффициент трения между бруском и доской 0,4, между доской и горизонтальной поверхностью трение отсутствует. Определите, при какой минимальной силе , приложенной к доске, брусок начнет скользить по доске.

18. Снаряд, вылетевший из орудия под не­которым углом к горизонту со скоростью ,в верхней точке траектории разрывается на два осколка, причем масса первого в 1,4 раза меньше массы второго . Меньший из осколков полетел горизонтально в обратном направлении со скоростью , равной скорости снаряда перед разрывом. Определите, на каком расстоянии от орудия упадет больший осколок, если место разрыва отстоит от места выстрела на рас­стояние 2,1 км (по горизонтали). Сопротивление воздуха не учитывать.

19. Две лодки (масса каждой вместе с рыбаком равна ) движутся со скоростями 2,2 м/с и 1,9 м/с, причем скорость второй лодки направлена под углом 35° к первой (см. рисунок). При сближении лодок рыбаки обменялись мешками (масса обоих мешков одинакова и в 5 раз меньше массы ). Опреде­лите скорости лодок и после обмена мешками.

20. Определите положение центра масс (радиус-вектор центра масс и его модуль ) системы, состоящей из трех материальных точек массами 1,4 кг, 1,2 кг и 1,8 кг, находящихся в вершинах равностороннего треугольни­ка со стороной 0,6 м. Определите также угол (см. рисунок).

м.

 

 

21. С башни высотой 15 м под углом 30° к горизонту со скоростью 12м/с брошено тело массой 1кг. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите для момента времени t = 1,5 с кинети­ческую Т и потенциальную П энергии тела.

22. Медную игральную кость с ребром 2 см перекатывают таким образом, чтобы она, сделав один оборот, вернулась в исходное положение. Определите затраченную работу А. Плотность меди 8,93 г/см³.

23. Конькобежец, разогнавшись до скорости 21 км/ч, въезжает на горку с уклоном 20° на высоту 1,6 м. Определите коэффициент трения коньков о лед.

24. Мощность двигателей самолета массой 5,2 т при отрыве от Земли равна 820 кВт. Разгоняясь равноускоренно, самолет достигает скорости 32 м/с. Принимая, что коэффициент сопротивления 0,04 не зависит от скорости, определите длину пробега самолета перед взлетом.

25. Груз массой 80 кг поднимают вдоль наклонной плоскости с ускорением 1 м/с². Длина наклонной плоскости 3м, угол ее наклона к горизонту равен 30°, а коэффициент трения 0,15. Определите: 1) работу, совершаемую подъемным устройством; 2) его среднюю мощность; 3) его максимальную мощность. Начальная скорость груза равна нулю.

26. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите отношение кинетической Т ипотенциальной энергии П шарика, брошенного под углом 40° к горизонту, в момент времени, когда его скорость будет составлять угол 1) 20°, 2) 0° с горизонталью.

27. Энергозатраты на откачку воды из подвала глубиной 2 м, длиной 10м и шириной 6 м составили 400 кДж. Определите коэффициент полезного действия насоса, если уровень воды составлял 0,8 м от дна подвала. Плотность воды 1 г/см³.

28. Шарик массой т₁ = 16 г, движущийся горизонтально, столкнулся с ша­ром массой т₂ = 0,8 кг, висящим на прямом недеформируемом и невесомом стержне длиной l = 1,7 м. Считая удар упругим, определите скорость шарика , если угол отклонения стержня после удара 20°.

29. Шар, движущийся со скоростью налетает на покоящийся шар, масса которого в п = 1,5 раза больше первого. Определите отношение скорости первого шара и скорости второго шара после удара. Удар считать упругим, центральным и прямым.

30. Два свинцовых шара массами 2 кг и 3 кг подвешены на нитях длиной 70 см. Первоначально шары соприкасаются между собой, затем меньший шар отклонили на угол 60° и отпустили (см. рисунок). Считая удар центральным и неупругим, определите: 1) высоту , на которую поднимутся шары после удара; 2) энергию , израсходованную на деформацию шаров при ударе.

 

31. К стержню длиной 0,5 м и массой кг приварен цилиндр мас­сой 1,2 кг и радиусом 0,25 м (см. рисунок). Определите момент инерции системы относительно оси ОО', проходящей через незакрепленный конец стержня параллельно образующей цилиндра.

 

 

32. Сравните кинетические энергии двух шаров с одинаковыми плотностями, катящихся по плоскости с одинаковой скоростью, если радиус второго шара в 3 раза меньше радиуса первого.

33. Шар и сплошной цилиндр, изготовленные из одного и того же материала, одинаковой массы и одинакового радиуса, катятся без скольжения с одинаковой скоростью. Определите, во сколько раз отличаются их кинетические энергии.

34. С наклонной плоскости, составляющей угол 37° с горизонтом, скатывается без скольжения сплошной диск. Пренебрегая трением, определите скорость v диска через t = 4 с после начала движения.

35. Колесо массой т= 2,8 кг раскручивается постоянной касательной силой F = 15 Н. Пренебрегая трением, определите момент времени t, когда кинетическая энергия вращающегося колеса Т_вр = 3 кДж.

36. На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом 20 см намотана невесомая нить, к концу которой подвешен груз массой 2 кг. Груз, разматывая нить, опускается с ускорением 1 м/с². Определите: 1) момент инерции вала; 2) массу вала.

37. Кинетическая энергия вращающегося с частотой 3 с^-1 маховика равна 8,4 кДж. Во сколько раз увеличится частота вращения маховика за время t = 5 с если на маховик начинает действовать ускоряющий момент силы М= 100 Н • м.

38. Через неподвижный блок, укрепленный на краю стола, перекинута нить, к которой привязаны три груза массами 800 г, 700 г, 200 г. Масса блока 500 г, радиус 0,38 м. Считая нить невесомой и пренебрегая трением, определите ускорение грузов а, а также расстояние s, которое груз пройдет от начала движения до того момента, когда кинетическая энергия вращения бло­ка будет Т_вр = 1,1 Дж.

39. На пружинных весах лежит гиря массой т = 1,2 кг, которая сжимает пружину на х₁= 3 см. Определите, на какую величину уменьшится длина пружины, если совершить дополнительную работу по ее сжатию А = 1,4 Дж.

40. Человексидит в центре скамьи Жуковского, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой 30 мин^-1. В вытянутых в стороны руках он держит по гире массой т= 5 кг каждая. Расстояние от каждой гири до оси вращения. Суммарный момент инерции человека и скамьи относительно оси вращения J₀ = 2 кг-м². Определите: 1) частоту п₂ вращения скамьи с человеком; 2) какую работу А совершит человек, если он прижмет ган­тели к себе так, что расстояние от каждой гири до оси станет равным l ₂ = 20 см.

41. Принимая, что масса Земли неизвестна, определите высоту h, на которой ускорение свободного падения будет в п = 3 раза меньше, чем ускорение свободного падения у поверхности Земли . Радиус Земли R₀ = 6,37 • 10⁶ м.

42. Определите среднюю плотность грунта Луны, если известно, что ускорение свободного падения у поверхности Луны 1,7 м/с², а ее радиус R = 1,74Мм.

43. Радиус некоторой планеты R' в п = 3 раза больше радиуса Земли R_o. Определите продолжительность суток Т' на планете, если тела на ее экваторе невесомы. Ускорение свободного падения у поверхности планеты в 1,2 раза больше ускорения свободного падения у поверхности Земли. Период суточного вращения Земли Т = 24 ч.

44. Радиус некоторой планеты R = 3800 км, продолжительность суток Т = 40 ч. Определите массу М этой планеты, если на полюсе тела весят в п = 1,2 раза больше, чем на экваторе.

45. Искусственный спутник вращается вокруг Земли по окружности на высоте h=2 Мм. Считая массу Земли неизвестной, определите период Т обращения спутника, если радиус Земли R_o = 6,37 • 10⁶ м.

46. Определите работу сил поля тяготения при перемещении тела массой т = 12 кг из точки 1, находящейся от центра Земли на расстоянии в точку 2, находящуюся от ее центра на расстоянии , где радиус Земли.

47. Определите высоту h, на которую можно поднять с Луны ракету массой т = 2 т, если при этом совершается работа А = 1 ГДж. Какую энергию Т надо затратить, чтобы запустить ракету по круговой орбите с данной высоты? Масса Луны М= 7,33 • 10²² кг, радиус Луны R = 1,74 • 10⁶ м.

48. Определите числовое значение первой космической скорости для Луны, если ускорение свободного падения у поверхности Луны 1,7 м/с², а радиус Луны R = 1,74 • 10⁶ м.

49. При вертикальной посадке на Луну ракета последние 120 м пути, двига­ясь равнозамедленно, прошла за время t = 6,5 с. Определите вес Р космонавта перед посадкой, если его масса m = 70 кг. Радиус Луны R = 1740 км масса Луны М= 7,35 • 10²² кг.

50. Вертикальный стержень укреплен на горизонтальном диске, вращающемся с частотой п = 0,8 с^-1. К вершине стержня привязан шарик на нити длиной l = 0,12 м. Определите расстояние от стержня до оси вращения если угол нити с вертикалью равен 37°.

51. Полый шар плавает на границе двух несмешивающихся жидкостей так, что соотношение частей шара во второй и первой жидкости равно . Плотности жидкостей и тела соответственно равны = 0,8 г/см³, = 1 г/см³ и = 2,7 г/см³. Определите объем шара , если размер его внутренней полости = 20 см³.

52. В стакан с водой, уравновешенный на рычажных весах, опустили подвешенный на нити латунный шарик массой = 400 г так, чтобы он не касался дна. Определите массу гирьки, с помощью которой можно уравновесить весы. Плотность материала шарика = 8,55 г/см³, плотность воды = 1 г/см³.

53. В сообщающиеся трубки с водой площадью сечения = 0,5 см² долили в левую масло объемом = 40 мл, в правую керосин объемом = 30 мл. Определите разность установившихся уровней воды в трубках, если плотность воды = 1 г/см³, плотность масла = 0,9 г/см³, плотность керосина = 0,8 г/см³.

54. Два мальчика массами = 20кг и = 25 кг катаются на льдинах. Определите минимальную площадь льдины, способной удержать их обоих, если толщина льда = 0,4 м. Плотность льда = 0,9 г/см³, плотность воды = 1 г/см³.

55. Определите силу , с которой надо давить на поршень горизонтального цилиндра площадью основания = 8 см², чтобы за время = 2,5 с выдавить из него через круглое отверстие площадью = 4 мм² слой жидкости толщиной = 5 см. Плотность жидкости = 1 г/см³. Вязкость жидкости не учитывать.

56. Открытый цилиндрический сосуд, стоящий на ножках высотой = 1,33 м, заполнен водой до отметки = 5 м (см. рисунок). Пренебрегая вязкостью воды, определите площадь сечения цилиндра, если через отверстие диаметром = 2,5 см у его основания струя, вытекающая из отверстия, падает на пол на расстоянии = 4,5 м от цилиндра.

 

57. Цилиндрический сосуд высотой = 1 м до краев заполнен жидкостью. Пренебрегая вязкостью жидкости, определите, на какой высоте должно быть проделано малое отверстие в стенке сосуда, чтобы струя, вытекающая из отверстия, падала на пол на расстоянии = 50 см от цилиндра.

58. Водомер представляет собой горизонтальную трубу переменного сечения, в которую впаяны две вертикальные манометрические трубки одинакового сечения. По трубе протекает вода. Пренебрегая вязкостью воды, определите ее массовый расход, если разность уровней в манометрических трубках = 8 см, а сечения трубы у оснований манометрических трубок соответственно равны = 6 см² и = 12 см². Плотность воды = 1 г/см³.

 

59. Пренебрегая вязкостью воды, определите объем воды в цилиндрическом баке диаметром = 1 м, если через отверстие диаметром = 2 см на дне бака вся вода вытекла за время = 30 мин.

60. Пробковый шарик радиусом = 0,5 см всплывает в широком сосуде в глицерине. Определите предельную скорость шарика, если течение жидкости, вызванное его всплытием, является ламинарным. Плотность материала шарика = 0,2 г/см³, плотность глицерина = 1,26 г/см³. Динамическая вязкость глицерина = 1,48 Па · с.

61. Определите число N молекул воды в бутылке вместимостью 0,33 л. Молярная масса воды = 18 · 10^-3 кг/моль, плотность воды = 1 г/см3.

62. В баллоне вместимостью = 5 л находится кислород, концентрация молекул которого равна 8· 10²⁵ м ^-3. Определите массу кислорода.

63. Газ в баллоне под давлением = 3,1 МПа, находился на складе при температуре = 6 °С. Израсходовав половину газа, баллон внесли в помещение. Определите температуру в помещении, если давление газа через некоторое время стало = 1,6 МПа.

64. В закрытом сосуде при температуре 300 К и давлении 0,1 МПа находятся 10 г водорода и 16 г гелия. Считая газы идеальными, определите удельный объем смеси.

65. Кислород массой = 10 г находится под давлением 200 кПа при температуре 280 К. В результате изобарного расширения газ занял объем 9 л. Определите: 1) объем газа до расширения; 2) температуру газа после расширения; 3) плотность газа после расширения.

66. B баллоне вместимостью = 5 л находится гелий под давлением = 3 МПа при температуре = 27 °С. После того как из баллона был израсходован гелий массой = 15 г, температура в баллоне понизилась до = 17 °С. Определите давление газа, оставшегося в баллоне.

67. В сосуде вместимостью = 5 л находится кислород массой = 15 г. Определите: 1) концентрацию молекул кислорода в сосуде; 2) число молекул газа в сосуде.

68. Определите среднюю арифметическую скорость молекул идеального газа, плотность которого при давлении 35 кПа составляет 0,3 кг/м³.

69. Исходя из основного уравнения молекулярно-кинетической теории идеальных газов, выведите связь между давлением газа, его объемом и суммарной кинетической энергией поступательного движения всех молекул газа.

70. Определите среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекул, содержащихся в 1 моль и в 1 кг азота при температуре 300 К.

71. Определите среднюю кинетическую энергию , приходящуюся на одну степень свободы молекулы кислорода, среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекулы, среднюю кинетическую энергию вращательного движения молекулы, среднее значение полной кинетической энергии молекулы, а также среднюю кинетическую энергию вращательного движения всех молекул газа. Газ считать идеальным, температура газа Т = 500 К, масса газа т = 10 г.

72. Азот массой т= 5 г находится под давлением 100 кПа при температуре 17° С. После нагревания при постоянном давлении газ занял объем 10 л. Определите: 1) количество теплоты Q, полученное газом; 2) изменение внутренней энергии газа.

73. Определите удельные теплоемкости смеси газов, содержащей гелий массой т₁ = 1 г и водород массой т₂ — 2 г.

74. При изохорном нагревании азота объемом 10 л давление газа изменилось на . Определите количество теплоты Q, сообщенное газу.

75. Азот (N₂) массой 14 г находится при температуре 27 °С. В результате изобарного расширения (см. рисунок) объем газа увеличился в 2 раза. Определите: 1) изменение внутренней энергии газа; 2) работу расширения A газа; 3) количество теплоты Q, сообщенное азоту. Удельная теплоемкость азота равна

76. При изобарном расширении двухатомного газа была совершена работа А=1 кДж. Определите количество теплоты Q, переданное газу.

77. Азот массой т= 100 г (молярная масса ) находится при температуре . В результате изохорного охлаждения его давление уменьшилось в раза, а затем в результате изобарного расширения температура газа в конечном состоянии оказалась равной первоначальной. Определите: 1)работу А, совершенную газом; 2) изменение внутренней энергии газа.

78. Газ массой m = 10 г расширяется изотермически от объема до объема . Работа А расширения газа равна 900 Дж. Определите наиболее вероятную скорость молекул газа.

79. Некоторый газ массой m = 1 г и первоначальным удельным объемом, находящийся при температуре Т = 280 К и под давлением р₁ = = 0,1 МПа, сжимают изотермически до давления р₂ = 1 МПа. Определите: 1) ка­кой это газ; 2) работу А, затраченную на сжатие газа.

80. Многоатомный идеальный газ из одного и того же состояния расширяется один раз при постоянной температуре, другой — при постоянном давлении. В обоих случаях работа расширения газа одинакова. Начертите графики этих процессов. В котором из рассматриваемых процессов и во сколько раз количество подведенной к газу теплоты больше?

81. Азот массой m = 56 г, находящийся при нормальных условиях, расширяется адиабатно, причем объем газа увеличивается в два раза. Определите: 1) изменение внутренней энергии газа; 2) работу расширения А газа.

82. Определите число i степеней свободы газа, если он расширяется адиабатно и при этом его объем увеличивается в четыре раза, а термодинамическая температура уменьшается в 1,74 раза.

83. Двухатомный идеальный газ совершает процесс, в ходе которого молярная теплоемкость С газа остается постоянной и равной .Определите показатель политропы n этого процесса.

84. Некоторый двухатомный газ подвергают политропному сжатию, в результате чего давление газа возросло от р₁ = 10 кПа до р₂ = 30 кПа, а объем газа уменьшился от V₁ = 2,5 л до V₂ = 1 л. Определите: 1) показатель политропы п; 2) изменение внутренней энергии газа.

85. В сосуде, теплоемкость которого 0,6 кДж/К, находится 0,5 л воды и 300 г льда при 0 °С. Определите, какая установится температура после впуска в воду 100 г водяного пара при температуре 100 °С. Удельная теплота парообразования 2,26 МДж/кг, удельная теплота плавления льда 3,35 • 10⁵ Дж/кг, плотность вод 1 г/см³, удельная теплоемкость воды 4,19 • 10³ Дж/(кг • К).

86. В идеальной тепловой машине Карно, работающей по обратному циклу (холодильной машине), в качестве холодильника используется вода при 0 °С, а в качестве нагревателя — вода при 100 °С. Сколько воды m ₂ следует заморозить в холодильнике, чтобы превратить в пар 100 г воды в нагревателе? Удельная теплота плавления льда удельная теплота парообразования воды

87. Идеальный газ количеством вещества моль совершает цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар (см. рисунок). Определите работу А, совершенную газом за цикл, если точки 2 и 4 лежат на одной изотерме, начальная температура газа равна 300 К, а температура Т ₃ газа в результате изобарного расширения достигла 500 К.