Движение в неинерциальных системах отсчета.

Неинерциа́льная систе́ма отсчёта — система отсчёта, не являющаяся инерциальной. Всякая система отсчета, движущаяся с ускорением относительно инерциальной, является неинерциальной. При рассмотрении уравнений движения тела в неинерциальной системе отсчета необходимо учитывать дополнительные силы инерции. Законы Ньютона выполняются только в инерциальных системах отсчёта. Для того, чтобы найти уравнение движения в неинерциальной системе отсчёта, нужно знать законы преобразования сил и ускорений при переходе от инерциальной системы к любой неинерциальной. Классическая механика постулирует следующие два принципа: 1) время абсолютно, то есть промежутки времени между любыми двумя событиями одинаковы во всех произвольно движущихся системах отсчёта; 2) пространство абсолютно, то есть расстояние между двумя любыми материальными точками одинаково во всех произвольно движущихся системах отсчёта. Эти два принципа позволяют записывать уравнение движения материальной точки относительно любой неинерциальной системы отсчёта, в которой не выполняется Первый закон Ньютона. Основное уравнение динамики относительного движения материальной точки имеет вид: ma_r=F-ma_e-ma_k, где m — масса тела, a_r — ускорение тела относительно неинерциальной системы отсчёта, F — сумма всех внешних сил, действующих на тело, a_e — переносное ускорение тела, a_k —кориолисово ускорение тела. Это уравнение может быть записано в привычной форме Второго закона Ньютона, если ввести фиктивные силы инерции: F_e=-ma_e - переносная сила инерции; F_k=-ma_k — сила Кориолиса

Основной закон относительного движения материальной точки. Рассмотрим движение материальной точки относительно неинерциальной системы координат, т.е. относительно системы координат, движущейся произвольным образом относительно неподвижной. В случае сложного движения точки абсолютное ускорение определяется по теореме Кориолиса: a = a_e + a_r + a_c, (1), где a_e - переносное ускорение, a_r - относительное ускорение, a_c - ускорение Кориолиса. Умножим равенство (1) на массу движущейся материальной точки: ma = ma_e + ma_r + ma_k. Выделим в подученном равенстве слагаемое, характеризующее относительное движение материальной точки ma_r = ma – ma_e – ma_c. В соответствии со вторым законом Ньютона заменим ma = F, где F - равнодействующая всех сил, риложенных к материальной точке. Введем обозначения: Ф_e = −ma_e, Ф_c = −ma_c. Тогда: Ma_r = F +Ф_e +Ф_c (2) Вектор Ф_e = −ma_e называется переносной силой инерции, вектор Ф_c = −ma_c - силой инерции Кориолиса. Равенство (2) представляет собой основной закон относительного движения материальной точки: Относительно неинерциальной (подвижной) системы отсчета материальная точка движется так, как будто к ней, кроме действующей силы, приложены переносная сила инерции и сила инерции Кориолиса. Векторы Ф_e и Ф_c можно рассматривать как поправки ко второму закону Ньютона для материальной точки, движение которой рассматривается относительно неинерциальной системы отсчета.

Частные случаи.

1. Пусть подвижная система отсчета по отношению к инерциальной системе движется поступательно. В этом случае угловая скорость переносного движения ω_e = 0, следовательно, будут равняться нулю ускорение Кориолиса и сила инерции Кориолиса: a_c=2ω_e×V_r=0, Ф_c = −ma_c=0. Закон относительного движения материальной точки (2) принимает вид: ma_r = F +Ф_e

2. Пусть подвижная система отсчета движется поступательно прямолинейно и равномерно. При таком двиижении a_e = 0, следовательно, Ф_e = −ma_e =0 = 0. Кроме того, ω_e = 0, a_c = 0, Ф_c = −ma_c=0. Тогда равенство (2) принимает вид: ma_r = F. Следовательно, основной закон относительного движения точки в этом случае совпадает с основным законом движения точки по отношению к инерциальной системе отсчета. Отсюда вытекает принцип относительности, открытый Галилеем: Никаким механическим экспериментом нельзя обнаружить, находится ли данная система отсчета в покое или совершает поступательное, равномерное, прямолинейное движение по отношению к инерциальной (неподвижной) системе отсчета. Таким образом, все системы отсчета, движущиеся поступательно, равномерно и прямолинейно относительно инерциальной системы, являются инерциальными.

3. Условие относительного равновесия. В этом случае V_r=0 и a_r=0, следовательно, a_c=2ω_e×V_r=0, Ф_c=−ma_c=0. Тогда уравнение (2) принимает вид: F+Ф_e=0 (4) Это уравнение называется уравнением относительного равновесия материальной точки.

 

Вопрос 19.

Преобразования Галлилея.

Рассмотрим две системы отсчета: неподвижную (К) и движущуюся относительно первой вдоль оси Х с постоянной Х с постоянной скоростью u (K’). Координаты тела М в системе К x:y:z, а в системе К’ - x’:y’:z’. Эти координаты связаны между собой соотношениями, которые называются преобразованием Галилея

Дифференцируя эти уравнения по времени и учитывая, что u=const, найдем соотношения между скоростями и ускорениями: v_x=v_x’+u; a_x=a_x’; v_z=v_z’; a_y=a_y’; a_y=a_y’; v_y=v_y’; a_z=a_z’.

Таким образом, если в системе К тело имеет ускорение а, то такое же ускорение оно имеет и в системе К’. Согласно второму закону Ньютона: F=ma, т.е. второй закон Ньютона одинаков в обоих случаях.

При a=a’=0 движение по инерции, т.о., справедлив и первый закон Ньютона, т.е. рассматриваемая нами подвижная система является инерциальной. Следовательно, уравнения Ньютона для материальной точки, а также для произвольной системы материальных точек одинаковы во всех инерциальных системах отсчета - инвариантны по отношению к преобразованиям Галилея. Этот результат называется механическим принципом относительности (принцип относительности Галилея), и формулируется следующим образом: равномерное и прямолинейное движение (относительно какой-либо инерциальной системы отсчета) замкнутой системы не влияет на закономерности протекания в ней механических процессов. Следовательно, в механике все инерциальные системы отсчета совершенно равноправны. Поэтому никакими механическими опытами внутри системы нельзя обнаружить движется ли система равномерно и прямолинейно или покоится.