Кинематика одномерного движения

 

Закон движения материальной точки .

Скорость материальной точки:

.

Ускорение материальной точки

.

Средняя скорость

.

 

Равнопеременное движения материальной точки

 

= const,

,

.

 

 

Вращательное движение тела

 

Угловая скорость

.

Угловое ускорение

.

Связь линейной и угловой скорости

,

[…] – означает векторное произведение векторов, где r – радиус–вектор с началом в любой точке оси вращения.

В случае равномерного вращения тела для любой точки нормальное ускорение

.

Тангенциальное ускорение

,

где R – расстояние от оси вращения.

 

 

Динамика

 

Второй закона Ньютона

или ,

где импульс равен ; F – равнодействующая всех сил, действующих на тело.

Для системы из N материальных точек импульс системы равен

.

Поступательное движение системы характеризуется движением ее центра масс:

,

где , , , ,

где – радиус-вектор центра масс системы; – радиус-вектор i -й частицы с массой _.

Сила гравитационного притяжения между двумя телами массой и равна

,

где r – расстояние между центрами масс этих тел; – постоянная тяготения.

Сила тяжести (для Земли)

,

где м/с² – ускорение свободного падения.

Сила трения скольжения

,

где – коэффициент трения скольжения; N – сила нормального давления.

 

 

8.1.3. Законы сохранения энергии, импульса,
момента импульса

 

Элементарная работа силы F, затраченная на перемещение d l,

,

где – угол между F и d l.

Мощность силы

,

где – угол между и .

Работа сил поля равна убыли потенциальной энергии частицы в данном поле:

.

Приращение кинетической энергии равно

,

где – работа всех сил, действующих на тело.

Приращение полной механической энергии равно

,

где – полная механическая энергия; – работа внешних сил.

Система называется замкнутой (изолированной), если она не обменивается с внешней средой энергией и веществом.

В замкнутой системе полный импульс системы сохраняется:

.

Абсолютно упругий центральный удар двух тел

 

Пусть тела движутся вдоль линии, соединяющей их центры масс.
в случае сохранения полной механической энергии в процессе столкновения суммарный импульс тоже сохраняется, а скорости тел после столкновения находятся по формулам

,

,

где – скорости тел до столкновения; – скорости тел после столкновения.

 

 

Абсолютно неупругий центральный удар двух тел

 

В этом случае тела после столкновения имеют одинаковые скорости :

,

где – скорости тел до столкновения; – скорость тел после столкновения.

 

Механика твердого тела

 

Момент силы относительно некоторой точки О есть

,

где – радиус-вектор, проведенный в точку приложения силы.

Момент импульса относительно некоторой точки О есть

,

где – радиус-вектор, проведенный из точки О в точку, где находится частица.

Изменение момента импульса определяется из уравнения

,

где – момент всех внешних сил, действующих на частицу.

Для замкнутой системы момент всех внешних сил равен нулю, тогда полный момент импульса сохраняется:

.

Для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси , уравнение динамики вращательного движения имеет вид

или ,

где – проекция углового ускорения на ось ; – проекция суммарного момента внешних сил на ось ; – момент инерции тела относительно оси ; заметим, что .

Момент инерции I относительно произвольной оси определяется согласно теореме Штейнера

,

где – момент инерции тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс; – расстояние между осями.

Моменты инерции ряда тел приведены в табл. 1

 

Таблица 1

Момент инерции тела относительно оси z

Тело	Рисунок	Момент инерции тела
Материальная точка массой ( – кратчайшее расстояние от точки до оси)
Однородный стержень длиной
Однородный диск (цилиндр) относительно оси вращения
Тонкостенный цилиндр (кольцо) относительно оси вращения
Однородный шар

 

Работа внешних сил при повороте тела вокруг неподвижной оси на угол

.

Кинетическая энергия тела, вращающегося относительно неподвижной оси

.

Кинетическая энергия тела при плоском движении

.

Момент импульса твердого тела относительно неподвижной оси

,

где – момент импульса, момент инерции, угловая скорость относительно оси z.