Механічних спеціальностей заочної форми навчання.

 

Укладачі: Сергій Іванович Куліков

Діна Григорівна Іванова

Галина Олександрівна Ткаченко

 

Редактор Л. М. Тонкошкур

Коректор Л. Я. Гоцуцова

 

 

Підп. до друку 10. 12.2001. Формат 60х41/16. Папір друк. №2. Друк офсетний. Умовн. – друк. арк. 1,27. Облік. – видавн. арк. 1,27 Тираж 100 прим. Зам. №.

УДХТУ, 49005, Дніпропетровськ – 5, пр. Гагаріна, 8

Дільниця оперативної поліграфії ІнКомЦентру УДХТУ

 

 

Методичні вказівки до виконання контрольної роботи № 3 з курсів “Обчислювальна математика, програмування і розрахунки на ЕОМ” та “Інформатика” для студентів технологічних і механічних спеціальностей заочної форми навчання складені відповідно до програми дисципліни і служать для надання методичної допомоги при виконанні контрольної роботи № 3 в освоєнні основних методів обчислень, край необхідних при виконанні розрахункових робіт у курсовому, дипломному проектуваннях з опрацювання експериментальних даних, обґрунтування і вибору оптимальних умов проведення технологічного процесу, а також при проведенні обчислень різноманітного призначення.

Контрольна робота має п’ять завдань, що виконуються відповідно до індивідуального варіанта.

Перше завдання – це обчислення систем нелінійних рівнянь, друге – розв’язання крайової задачі за методом скінчених різниць або прогонки, третє – знаходження інтервальної оцінки параметрів нормально розподіленої випадкової величини: математичного сподівання, дисперсії і знаходження надійних інтервалів до них, четверте завдання – зробити оцінку впливу фактора X на величину Y, п’яте завдання – обчислити рівняння регресії і зробити перевірку його на адекватність експериментальним даним.

Для правильного вибору індивідуального варіанта завдань необхідно обчислити два параметри: N і К. Ці параметри визначаються за шифром студента. Параметр N – це сума трьох останніх цифр шифру, а параметр К – сума двох останніх цифр шифру. Наприклад: шифр студента – 91135, тоді N=1+3+5=9, К=3+5=8. Якщо виявиться, що N=0, то прийняти N=20, а якщо К=0, то прийняти К=20.

Контрольна робота оформляється у звичайному зошиті у клітинку акуратним і розбірливим почерком. Кожне завдання треба починати з написання умов обчислень. Всі розрахунки робляться за допомогою калькулятора.

До усіх завдань приводяться приклади з повними і докладними розрахунками.

Контрольну роботу необхідно виконати і здати її у деканат до початку екзаменаційної сесії. Це забезпечить своєчасну її перевірку.

Роботи, виконані вірно, одержують позитивну рецензію і допускаються до захисту. Захист робіт здійснюється на екзаменаційній сесії за розкладом. Контрольні роботи, виконані з помилками, до захисту не допускаються і доопрацьовуються до моменту одержання позитивної рецензії.

Чисельне розв’язання систем нелінійних рівнянь

Для обчислення систем нелінійних рівнянь можна вживати метод Ньютона або метод простої ітерації.

Метод Ньютона

Задано систему нелінійних рівнянь:

Необхідно знайти корені системи.

Згідно методу Ньютона послідовність наближень обчислюється за формулами:

(1.1)

де (1.2)

Матрицею Якобі є матриця, складена з часткових похідних правих частин системи:

(1.3)

Початкове наближення і знаходять за графіком.

Умови завершення ітераційного процесу:

(1.4)

де – наступні наближення коренів та ;

– попередні наближення коренів та ;

– задана точність розв’язання системи рівнянь.

Метод Ньютона має ефект при достатній близькості початкового наближення до кінцевого результату обчислення.

Приклад 1.1.

Розв’язати систему нелінійних рівнянь:

Початкові наближення коренів та знайдемо графічним способом.

З першого рівняння системи одержуємо , а з другого :

Побудуємо таблицю і графік обох залежностей:

0,8	0,936	9,375
0,9	0,967	6,722
1,1	1,034	3,832
1,2	1,068	3,009
1,3	1,104	2,412
1,4	1,139	1,969
1,5	1,176	1,629
1,6	1,212	1,3678
1,7	1,248	1,160
1,8	1,284	0,994
1,9	1,321	0,860
	1,357	0,75

Таблиця 1.1

 

Мал. 1.1

Згідно графіка (мал. 1.1) наближені значення:

Обчислюємо Якобіан у точці :

За формулами (1.1) одержуємо

Далі підставляємо у формули (1.1) одержані і , потім і і так до тих пір, доки не буде досягнута задана точність (виконаються умови (1.4)).

 

Метод простої ітерації

Задано систему нелінійних рівнянь:

(1.5)

Необхідно знайти корені цієї системи з заданою точністю. Для вживання метода простої ітерації система (1.4) приводиться до виду:

(1.6)

Складаємо матрицю Якобі

(1.7)

і обчислюємо першу або другу норми матриці (перша норма – це максимальна сума модулів елементів матриці по рядкам, а друга норма – це максимальна сума модулів елементів матриці по стовпцям):

(1.8)

Якщо будь-яка із норм матриці буде менше одиниці, то ітераційний процес буде збіжним. Розв’язування визначається за формулами:

, (1.9)

де і деяке початкове наближення коренів, одержаних графічним або іншим способом. Норми матриці Якобі досліджуються в області, яка містить у собі і .

Оцінка похибки n – го наближення дається нерівністю:

, (1.10)

де і – точне рішення системи (1.4);

.

Приклад 1.2. Розв’язати систему нелінійних рівнянь і дати оцінку похибки результату:

(1.1)

З першого рівняння системи (1.11) одержуємо , а з другого – :

Побудуємо таблицю і графік обох залежностей.

Згідно графіка корені системи (1.11) знаходяться в області ; ; нехай ; . Перетворимо систему рівнянь (1.11) до вигляду:

Складемо матрицю Якобі: .

 

Таблиця 1.2

	1,32	2,587
0,3	1,616	2,153
0,5	1,799	1,928
0,7	1,964	1,721
	2,161	1,420
1,5	2,317	0,863

Мал. 1.2

Оскільки і , то будь-яка норма матриці Якобі буде менше 1, отже ітераційний процес у досліджувальній області буде мати збіжність.

Якщо беремо нульові наближення коренів , 1,8, тоді

Отже можна вважати, що розв’язування знайдене з точністю до 0,012. Відповідь .