Український державний хіміко-технологічний університет

УКРАЇНСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ХІМІКО-ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

ДО ВИКОНАННЯ КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ № 3

З КУРСІВ “ОБЧИСЛЮВАЛЬНА МАТЕМАТИКА, ПРОГРАМУВАННЯ І РОЗРАХУНКИ НА ЕОМ” ТА “ІНФОРМАТИКА” ДЛЯ СТУДЕНТІВ ТЕХНОЛОГІЧНИХ

І МЕХАНІЧНИХ СПЕЦІАЛЬНОСТЕЙ ЗАОЧНОЇ

ФОРМИ НАВЧАННЯ

 

Дніпропетровськ УДХТУ 2005

 

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

УКРАЇНСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ХІМІКО-ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ

ДО ВИКОНАННЯ КОНТРОЛЬНОЇ РОБОТИ № 3

З КУРСІВ “ОБЧИСЛЮВАЛЬНА МАТЕМАТИКА, ПРОГРАМУВАННЯ І РОЗРАХУНКИ НА ЕОМ” ТА “ІНФОРМАТИКА” ДЛЯ СТУДЕНТІВ ТЕХНОЛОГІЧНИХ

І МЕХАНІЧНИХ СПЕЦІАЛЬНОСТЕЙ ЗАОЧНОЇ

ФОРМИ НАВЧАННЯ

 

Затверджено на засіданні

кафедри ОТ та ПМ

Протокол № 4 від 16.12.04

 

 

Дніпропетровськ УДХТУ 2005

 

 

Методичні вказівки до виконання контрольної роботи № 3 з курсів “Обчислювальна математика, програмування і розрахунки на ЕОМ” та “Інформатика” для студентів технологічних і механічних спеціальностей заочної форми навчання – Дніпропетровськ: УДХТУ, 2005. – 22с.

 

Укладачі: С. І. Куліков

Д. Г. Іванова

Г. О. Ткаченко

 

Відповідальний за випуск С. І. Куліков

 

 

Навчальне видання

Методичні вказівки до виконання контрольної роботи № 3

З курсів “Обчислювальна математика, програмування

і розрахунки на ЕОМ” та “Інформатика” для студентів технологічних і

Чисельне розв’язання систем нелінійних рівнянь

Для обчислення систем нелінійних рівнянь можна вживати метод Ньютона або метод простої ітерації.

Метод Ньютона

Задано систему нелінійних рівнянь:

Необхідно знайти корені системи.

Згідно методу Ньютона послідовність наближень обчислюється за формулами:

(1.1)

де (1.2)

Матрицею Якобі є матриця, складена з часткових похідних правих частин системи:

(1.3)

Початкове наближення і знаходять за графіком.

Умови завершення ітераційного процесу:

(1.4)

де – наступні наближення коренів та ;

– попередні наближення коренів та ;

– задана точність розв’язання системи рівнянь.

Метод Ньютона має ефект при достатній близькості початкового наближення до кінцевого результату обчислення.

Приклад 1.1.

Розв’язати систему нелінійних рівнянь:

Початкові наближення коренів та знайдемо графічним способом.

З першого рівняння системи одержуємо , а з другого :

Побудуємо таблицю і графік обох залежностей:

0,8	0,936	9,375
0,9	0,967	6,722
1,1	1,034	3,832
1,2	1,068	3,009
1,3	1,104	2,412
1,4	1,139	1,969
1,5	1,176	1,629
1,6	1,212	1,3678
1,7	1,248	1,160
1,8	1,284	0,994
1,9	1,321	0,860
	1,357	0,75

Таблиця 1.1

 

Мал. 1.1

Згідно графіка (мал. 1.1) наближені значення:

Обчислюємо Якобіан у точці :

За формулами (1.1) одержуємо

Далі підставляємо у формули (1.1) одержані і , потім і і так до тих пір, доки не буде досягнута задана точність (виконаються умови (1.4)).

 

Метод простої ітерації

Задано систему нелінійних рівнянь:

(1.5)

Необхідно знайти корені цієї системи з заданою точністю. Для вживання метода простої ітерації система (1.4) приводиться до виду:

(1.6)

Складаємо матрицю Якобі

(1.7)

і обчислюємо першу або другу норми матриці (перша норма – це максимальна сума модулів елементів матриці по рядкам, а друга норма – це максимальна сума модулів елементів матриці по стовпцям):

(1.8)

Якщо будь-яка із норм матриці буде менше одиниці, то ітераційний процес буде збіжним. Розв’язування визначається за формулами:

, (1.9)

де і деяке початкове наближення коренів, одержаних графічним або іншим способом. Норми матриці Якобі досліджуються в області, яка містить у собі і .

Оцінка похибки n – го наближення дається нерівністю:

, (1.10)

де і – точне рішення системи (1.4);

.

Приклад 1.2. Розв’язати систему нелінійних рівнянь і дати оцінку похибки результату:

(1.1)

З першого рівняння системи (1.11) одержуємо , а з другого – :

Побудуємо таблицю і графік обох залежностей.

Згідно графіка корені системи (1.11) знаходяться в області ; ; нехай ; . Перетворимо систему рівнянь (1.11) до вигляду:

Складемо матрицю Якобі: .

 

Таблиця 1.2

	1,32	2,587
0,3	1,616	2,153
0,5	1,799	1,928
0,7	1,964	1,721
	2,161	1,420
1,5	2,317	0,863

Мал. 1.2

Оскільки і , то будь-яка норма матриці Якобі буде менше 1, отже ітераційний процес у досліджувальній області буде мати збіжність.

Якщо беремо нульові наближення коренів , 1,8, тоді

Отже можна вважати, що розв’язування знайдене з точністю до 0,012. Відповідь .

 

Метод кінцевих різниць

Нехай .

Система рівновіддалених вузлів з деяким кроком , та . Позначимо у результаті обчислення наближені значення функції та її похідних у вузлах через відповідно. Замінимо у кожному внутрішньому вузлі похідні і кінцево-різничними відношеннями (для внутрішніх точок):

,

а на кінцях інтервалу (для крайніх точок) призначимо:

.

Використовуючи ці формули замінимо рівняння (2.1) та крайові умови (2.2) складеною системою рівнянь:

Одержимо лінійну алгебраїчну систему рівнянь з невідомими. Розв’язавши її, одержимо таблицю наближених значень шуканої функції .

Приклад 2.1.

Обчислити лінійну крайову задачу:

Тут

Розіб’ємо відрізок на частини з кроком ; одержимо чотири вузлові точки. Дві з них називаються межовими, а дві інші та – внутрішніми.

Обчислення крайової задачі звелось до знаходження чотирьох значень функції , а саме , відповідно значенням аргументів .

Для знаходження чотирьох невідомих треба скласти і обчислити систему із чотирьох рівнянь:

=1;

;

;

.

Зробивши тотожні перетворювання (зведення до спільного знаменника і

зведення подібних членів) і підставивши , одержимо

(2.3)

Розв’язуючи систему (2.3) Таблиця 2.1

	1,2	1,3	1,4	1,5
	2,3389	2,6096	2,8475	3,0475

одержимо обчислення крайової задачі (табл.. 2.1).

 

 

Метод прогонки

Усі обчислення у методі прогонки діляться на дві частини: прямий хід і зворотний хід. Результати обчислень зручно записувати до таблиці.

При прямому ході заповнюють усі колонки таблиці (окрім останньої) зверху донизу. При зворотному ході заповнюється остання колонка таблиці знизу догори.

Обчислювальні формули мають вигляд:

(2.4)

(2.5)

(2.6)

(2.7)

(2.8)

Обчислення проводяться у такому порядку:

Прямий хід. Знайдемо та (2.5). За формулами (2.4) обчислимо значення . За допомогою рекурентних формул (2.6) обчислимо та .

Зворотний хід. Обчислимо значення за формулою (2.7). Застосовуючи формулу (2.8), одержимо інші значення , починаючи з .

Приклад 2.2.

За методом прогонки розв’язати крайову задачу:

За формулами (2.5) обчислюємо:

Пам’ятаючи, що змінюється від до з кроком 0,1 , одержимо:

Обчислюємо за формулами (2.4):

За формулами (2.6) обчислюємо:

Аналогічно обчислюються , які необхідно одержати при прямому ході.

При зворотному ході спочатку обчислюється за формулою (2.7), а потім та за формулою (2.8).

Усі обчислені дані заносяться у таблицю.

Таблиця 2.2

	1,2				-0,83333	-0,2	2,33751
	1,3	-2,11123	1,13904	0,00856	-0,86056	-0,18128	2,60505
	1,4	-2,12043	1,15054	0,00860	-0,88470	-0,17089	2,84585
	1,5						3,04585

Якщо у краєвих умовах , то , а – буде відсутнє, але згідно (2.5)

.

 

 

Приклад 3.1.

За заданою вибіркою значень випадкової величини знайти оцінки математичного сподівання, дисперсії і надійні інтервали до них. Оцінити нормальність розподілу.

Розглянемо варіант для K=30, N=1. Результати обчислень наведені у таблиці 3.1.

 

Таблиця 3.1

	3,62	0,42	-0,27	0,18
	3,85	0,18	-0,07	0,03
	4,86	0,35	0,21	0,12
	4,19	0,006
	4,54	0,07	0,02	0,05
	3,94	0,11	-0,04	0,01
	4,46	0,04	0,007	0,001
	4,30	0,0009
	4,69	0,18	0,07	0,03
	4,25	0,0004
∑	42,7	1,36	-0,073	0,37

Так як і , то вибірковий закон розподілу можна вважати нормальним.

Зробимо оцінку надійних інтервалів до математичного сподівання і дисперсії.

Якщо і то ; із таблиці 3.2 знаходимо критерій Стьюдента , тоді

. Таблиця 3.2

Надійний інтервал для математичного Критерій Стьюдента

p f	0,9	0,95
	2,13	2,78
	2,01	2,57
	1,94	2,45
	1,89	2,36
	1,86	2,31
	1,83	2,26
	1,81	2,23

сподівання – :

З таблиці 3.3 для знайдемо

 

 

Таблиця 3.3

Критерій

0,025	0,05	0,95	0,975
	11,1	9,5	0,711	0,484
	12,8	11,1	1,15	0,831
	14,4	12,6	1,64	1,24
	16,0	14,1	2,17	1,69
	17,5	15,5	2,73	2,18
	19,0	16,9	3,33	2,70
	20,5	18,3	3,94	3,25

Таким чином, надійний інтервал для дисперсії – :

.

Приклад 4.1.

Дати оцінку дії фактора на величину .

Результати експерименту подано Таблиця 4.2

	0,1		1,8	1,0	1,6
	0,2	2,5	2,3	2,0	2,27
	0,3	3,7	3,0	3,4	3,37
	0,4	4,5	3,5	4,3	4,1
	0,5	5,0	5,5	5,2	5,23

у таблиці 4.2.

1. Обчислюємо (середнє за серіями спостережень (4.2)):

аналогічно знаходимо і записуємо їх у таблицю.

2. Обчислюємо загальне середнє (4.2):

3. Обчислюємо дисперсію фактора і дисперсію помилки (4.1):

4. Знаходимо табличне значення Таблиця 4.3

критерію Фішера для : Критерій Фішера

	6,61	5,79	5,41	5,19	5,05
	5,99	5,14	4,76	4,53	4,39
	5,50	4,74	4,35	4,12	3,97
	5,32	4,46	4,07	3,84	3,69
	5,12	4,26	3,86	3,63	3,48
	4,96	4,10	3,71	3,48	3,33

для рівня значимості

5. Обчислюємо розрахункове значення критерію Фішера:

фактор впливає на змінну .

 

Приклад 5.1.

Знайти рівняння регресії і перевірити його на адекватність.

Складаємо таблицю.

Таблиця 5.1

	0,1	2,0	1,8	1,0	1,6	0,01	0,16	1,49	0,012
	0,2	2,5	2,3	2,0	2,27	0,04	0,45	2,4	0,017
	0,3	3,7	3,0	3,4	3,37	0,09	1,01	3,31	0,04
	0,4	4,5	3,5	4,3	4,1	0,16	1,64	4,22	0,014
	0,5	5,0	5,5	5,2	5,23	0,25	2,62	5,13	0,01
∑	1,5	-	-	-	16,57	0,55	5,88	-	0,06

 

Вихідні дані беремо з прикладу (4.1) табл. (4.2). Обчислюємо з першого по п’ятий рядок і по стовпцям обчислюємо їх суми.

За даними таблиці складаємо систему рівнянь (5.1):

Обчислюємо складаємо рівняння регресії:

(5.2)

Підставляємо у рівняння (5.2) значення з таблиці 5.1, одержуємо значення і заповнюємо відповідний стовпець таблиці 5.1. На кожному рівні експерименту з 1 по 5 обчислюємо і заповнюємо останній стовпчик таблиці 5.1. Знаходимо суму елементів усього стовпця . Обчислюємо дисперсію адекватності і дисперсію помилки:

Обчислюємо критерій Фішера:

Критерій Фішера табличний (табл.4.3):

; оскільки , то рівняння адекватне експериментальним даним.

 

Список літератури

1. Брановицкая С. В., Медведев Р. Б., Фиалков Ю. Я. Вычислительная математика в химии и химической технологии. – Киев: Головне видавництво “Вища школа”, 1986. – 216 с.

2. Волков Е. А. Численные методы. Учебное пособие для ВУЗов. – 2-е изд., испр. – М.: Наука, 1987. – 248 с.

3. Гаврилюк І. П., Макаров В. Л. Методи обчислень. Підручник у 2 ч. – К.: Вища школа, 1995. – 4 ч. – 431 с.

4. Ляшенко М. С., Головань М. С. Чисельні методи: Підручник. – К.: Либідь, 1996. – 288 с.

5. Демидович В. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. – М.: Наука, 1976. – 664 с.

6. Калиткин Н. Н. Численные методы: Учебное пособие. – М.: Наука, 1976. – 503 с.

7. Копченова Н. В., Марон И. А. Основы вычислительной математики в примерах и задачах. – М.: Наука, 1972. – 357 с.

 

 

Зміст

Стор.

 

1. Введення............................................................................................................3

2. Чисельні рішення систем нелінійних рівнянь...............................................4

3. Варіанти індивідуальних завдань...................................................................7

4. Розв’язування лінійної крайової задачі..........................................................7

5. Варіанти індивідуальних завдань.................................................................12

6. Інтервальна оцінка параметрів нормально

розподіленої випадкової величини...............................................................12

7. Варіанти індивідуальних завдань.................................................................15

8. Дисперсійний аналіз......................................................................................15

9. Варіанти індивідуальних завдань.................................................................17

10. Регресійний аналіз..........................................................................................18

11. Варіанти індивідуальних завдань.................................................................20

12. Список літератури..........................................................................................21

13. Зміст.................................................................................................................22

УКРАЇНСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ХІМІКО-ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ