Основные направления исследования эволюции систем

 

При исследовании эволюции системы необходима ее декомпозиция на подсистемы с целью обеспечения:

· эффективного взаимодействия с окружением;

· оптимального обмена определяющими материальными, энергетическими, информационными, организационными ресурсами с подсистемами;

· эволюции системы в условиях динамической смены и переупорядочивания целей, структурной активности и сложности системы;

· управляемости системы, идентификации управляющей подсистемы и эффективных связей с подсистемами, обратной связи.

Пусть имеется некоторая система S с N подсистемами. Для каждой i - й подсистемы определим вектор x⁽ⁱ⁾ = (x₁⁽ⁱ⁾, x₂⁽ⁱ⁾,…,x_ni⁽ⁱ⁾) основных параметров, без которых нельзя описать и изучить функционирование подсистемы в соответствии с целями и доступными ресурсами системы. Введем в рассмотрение функцию s⁽ⁱ⁾ = s(x⁽ⁱ⁾), которую назовем функцией активности или просто активностью этой подсистемы. Например, в бизнес-процессах это понятие близко к понятию деловой активности.

Для всей системы определены вектор состояния системы x и активность системы s(x), а также понятие общего потенциала системы.

Например, потенциал активности может быть определен с помощью интеграла от активности на задаваемом временном промежутке моделирования.

Эти функции отражают интенсивность процессов, как в подсистемах, так и в системе в целом.

Важными для задач моделирования являются три значения

s⁽ⁱ⁾_max, s⁽ⁱ⁾_min, s⁽ⁱ⁾_opt

- максимальные, минимальные и оптимальные значения активности i - й подсистемы, а также аналогичные значения для всей системы (s_max, s_min, s_opt).

Если дана открытая экономическая система (процесс), а Н₀, Н₁ - энтропия системы в начальном и конечном состояниях процесса, то мера информации определяется как разность вида:

ΔН = Н₀ - Н₁.

Уменьшение ΔН свидетельствует о приближении системы к состоянию статического равновесия (при доступных ресурсах), а увеличение - об удалении. Величина ΔН - количество информации, необходимой для перехода от одного уровня организации системы к другой (при ΔН > 0 - более высокой, при ΔН < 0 - более низкой организации).

Рассмотрим подход и с использованием меры по Н. Моисееву.

Пусть дана некоторая управляемая система, о состояниях которой известны лишь некоторые оценки - нижняя s_min и верхняя s_max. Известна целевая функция управления

F(s(t), u(t)),

где s(t) - состояние системы в момент времени t, а u(t) - управление из некоторого множества допустимых управлений, причем считаем, что достижимо u_opt - некоторое оптимальное управление в пространстве U, t₀ < t < T, s_min s s_max.

Мера успешности принятия решения может быть выражена математически:

H = |(F_max - F_min) / (F_max + F_min)|,

F_max = max F(u_opt, s_max), F_min = min F(u_opt, s_min),

t [t₀;T ], s [s_min; s_max].

Увеличение Н свидетельствует об успешности управления системой.

 

Функции должны отражать эволюцию системы, в частности, удовлетворять условиям:

1. Периодичности (цикличности), например:

( 0 < T < ∞, t: ⁽ⁱ⁾(s; s⁽ⁱ⁾, t) = ⁽ⁱ⁾(s; s⁽ⁱ⁾, t + T),

⁽ⁱ⁾(s; s⁽ⁱ⁾, t) = ⁽ⁱ⁾(s; s⁽ⁱ⁾, t + T)).

2. Затуханию при снижении активности, например:

(s(x) 0 i = 1, 2,..., n) => ( ⁽ⁱ⁾ 0, ⁽ⁱ⁾ 0).

3. Стационарности: выбор или определение функции ⁽ⁱ⁾, ⁽ⁱ⁾ осуществляется таким образом, чтобы система имела точки равновесного состояния, а s⁽ⁱ⁾_opt, s_opt достигались бы в стационарных точках x⁽ⁱ⁾_opt, x_opt для малых промежутков времени. В больших промежутках времени система может вести себя хаотично, самопроизвольно порождая регулярные, упорядоченные, циклические взаимодействия (детерминированный хаос).

Взаимные активности ^(ij)(s; s⁽ⁱ⁾, s^(j), t) подсистем i и j не учитываются. В качестве функции ⁽ⁱ⁾, ⁽ⁱ⁾ могут быть эффективно использованы производственные функции типа Кобба - Дугласа:

 

В таких функциях важен параметр _i, отражающий степень саморегуляции, адаптации системы. Как правило, его нужно идентифицировать.

Функционирование системы удовлетворяет на каждом временном интервале (t; t + τ) ограничениям вида

 

 

 

При этом отметим, что выполнение для τ > 0 одного из двух условий

 

 

приводит к разрушению (катастрофе) системы.

Обратимся к социально - экономической среде, которая может возобновлять с коэффициентом возобновления

(τ, t, x) (0 < t <T, 0 < x < 1, 0 < τ < T)

свои ресурсы. Этот коэффициент зависит, в общем случае, от мощности среды (ресурсоемкости и ресурсообеспеченности).

Рассмотрим простую гипотезу:

(τ, t, x) = ₀ + ₁x,

Чем больше ресурсов - тем больше темп их возобновления. Запишем непрерывную эволюционную модель, где a - коэффициент естественного прироста ресурсов, b - убыли ресурсов:

 

Пусть (τ) = ₀(τ) + ₁(τ) x(τ) > 0. Тогда

 

Задача всегда имеет решение при x = 0. Тогда эволюционный потенциал системы можно определить как величину:

 

Чем выше темп возобновления - тем выше λ, чем меньше - тем ниже λ.

Напрашивается вывод. Каким бы хорошим ни было состояние ресурсов в начальный момент, они неизменно будут истощаться, если потенциал системы меньше 1.

Отметим, что если ds/dt - общее изменение энтропии системы, ds₁/dt - изменение энтропии за счет необратимых изменений структуры, потоков внутри системы, ds₂/dt - изменение энтропии за счет усилий по улучшению обстановки (например, экономической, экологической, социальной), то справедливо уравнение И. Пригожина:

ds/dt = ds₁/dt + ds₂/dt.

При эволюционном моделировании социально - экономических систем полезно использовать и классические математические модели и неклассические, в частности, учитывающие пространственную структуру системы, структуру и иерархию подсистем (графы, структуры данных и др.), опыт и интуицию (эвристические, экспертные процедуры).

Пример. Пусть дана некоторая экологическая система Ω, в которой имеются точки загрязнения (выбросов загрязнителей) x_i, i = 1, 2, …, n. Каждый загрязнитель x_i загрязняет последовательно экосистему в промежутке времени [t_i-1; t_i]. Каждый загрязнитель может оказать воздействие на активность другого загрязнителя (например, уменьшить, нейтрализовать или усилить по известному эффекту суммирования воздействия загрязнителей). Силу (меру) такого влияния можно определить через r_ij,

R = {r_ij: i = 1, 2,…, n-1; j = 2, 3,…, n}.

Структура задаётся графом: вершины - загрязнители, ребра – меры загрязнения. Найдём подстановку, минимизирующую функционал вида:

где F - суммарное загрязнение системы с данной структурой S.

Чем быстрее будет произведен учёт загрязнения в точке x_i, тем быстрее осуществимы социально - экономические мероприятия по его нейтрализации. Чем меньше будет загрязнителей до загрязнителя x_i, тем меньше будет загрязнение среды.

В качестве меры r_ij может быть взята мера, учитывающая как время начала воздействия загрязнителей, так и число, и интенсивность этих загрязнителей:

 

где v_ij - весовой коэффициент, определяющий степень влияния загрязнителя x_i на загрязнитель x_j (эффект суммирования), h_j - весовой коэффициент, учитывающий удельную интенсивность действия загрязнителя x_j и интервал τ_i, в течение которого уменьшается интенсивность (концентрация) загрязнителя. Весовые коэффициенты устанавливаются экспертно или экспериментально.

Принцип эволюционного моделирования предполагает необходимость и эффективность использования методов и технологии искусственного интеллекта, в частности, экспертных систем.

Адекватным средством реализации процедур эволюционного моделирования являются генетические алгоритмы.

 

Генетические алгоритмы

 

Идея генетических алгоритмов "подсмотрена" у систем живой природы, у систем, эволюция которых развертывается в сложных системах достаточно быстро.

Генетический алгоритм - это алгоритм, основанный на имитации генетических процедур развития популяции в соответствии с принципами эволюционной динамики.

Генетические алгоритмы используются для решения задач оптимизации (многокритериальной), для задач поиска и управления.

Данные алгоритмы адаптивны, они развивают решения и развиваются сами. Особенность этих алгоритмов - их успешное использование при решении сложных проблем.

Пример. Рассмотрим задачу безусловной целочисленной оптимизации (размещения): найти максимум функции f(i), i - набор из n нулей и единиц, например, при n = 5, i = (1, 0, 0, 1, 0). Это очень сложная комбинаторная задача для обычных, "негенетических" алгоритмов. Генетический алгоритм может быть построен на основе следующей укрупненной процедуры:

1. Генерируем начальную популяцию (набор допустимых решений задачи) - I₀ = (i₁, i₂,:, i_n), i_j {0,1} и определяем некоторый критерий достижения "хорошего" решения, критерий остановки , процедуру СЕЛЕКЦИЯ, процедуру СКРЕЩИВАНИЕ, процедуру МУТАЦИЯ и процедуру обновления популяции ОБНОВИТЬ;

2. k = 0, f₀ = max{f(i), i I₀};

3. выполнять пока не():

· с помощью вероятностного оператора (селекции) выбираем два допустимых решения (родителей) i₁, i₂ из выбранной популяции (вызов процедуры СЕЛЕКЦИЯ);

· по этим родителям строим новое решение (вызов процедуры СКРЕЩИВАНИЕ) и получаем новое решение i;

· модифицируем это решение (вызов процедуры МУТАЦИЯ);

· если f₀ < f(i) то f₀ = f(i);

· обновляем популяцию (вызов процедуры ОБНОВИТЬ);

· k = k + 1

Подобные процедуры определяются с использованием аналогичных процедур живой природы (на том уровне знаний о них, что мы имеем).

Процедура СЕЛЕКЦИЯ может из случайных элементов популяции выбирать элемент с наибольшим значением f(i).

Процедура СКРЕЩИВАНИЕ (кроссовер) может по векторам i₁, i₂ строить вектор i, присваивая с вероятностью 0.5 соответствующую координату каждого из этих векторов - родителей. Это самая простая процедура. Используют и более сложные процедуры, реализующие более полные аналоги генетических механизмов.

Процедура МУТАЦИЯ также может быть простой или сложной. Например, простая процедура с задаваемой вероятностью для каждого вектора меняет его координаты на противоположные (0 на 1, и наоборот).

Процедура ОБНОВИТЬ заключается в обновлении всех элементов популяции в соответствии с указанными процедурами.

Хотя генетические алгоритмы и могут быть использованы для решения задач, которые, нельзя решить другими методами, они не гарантируют нахождение оптимального решения, по крайней мере, за приемлемое время. Здесь более уместны критерии типа "достаточно хорошо и достаточно быстро".

Главное же преимущество заключается в том, что они позволяют решать сложные задачи, для которых не разработаны пока устойчивые и приемлемые методы, особенно на этапе формализации и структурирования системы.

Генетические алгоритмы эффективны в комбинации с другими классическими алгоритмами, эвристическими процедурами, а также в тех случаях, когда о множестве решений есть некоторая дополнительная информация, позволяющая настраивать параметры модели, корректировать критерии отбора, эволюции.