Напряжения, связанные с изгибающим моментом

а) в наружных волокнах:

y_нар = + y_о = + 0,318 = 5,318 см;

ρ_нар = R + = 20 + = 25 см;

(σ_M)_нар = ∙ = ∙ = - M∙0,00850 (кгс/см²);

 

б) во внутренних волокнах:

 

y_вн = -( - y_о) = -( - 0,318) = -4,672 см;

ρ_вн = R - = 20 - = 15 см;

(σ_M)_вн = ∙ = ∙ = M∙0.01246 (кгс/см²).

 

Напряжения, связанные с продольной силой

 

σ_N = = (кгс/см²).

 

Суммарные напряжения в наружных волокнах

σ_нар = - M∙0.00850 + (кгс/см²).

Суммарные напряжения во внутренних волокнах

σ_вн = M∙0.01246 + (кгс/см²).

Результаты вычислений для трех сечений приведе­ны в таблице

Таблица 10.3

Сечение	M кгс∙см	N кгс	(σM)нар кгс/см^2	(σM)вн кгс/см^2	σN кгс/см^2	σнар кгс/см^2	σвн кгс/см^2
«С» уч.ВС		-964	-68,0	99,4	-12,3	-80,3	87,1
«С» уч.АС		-118	-68,0	99,4	-1,5	-69,5	97,9
«К»	-6810	-857	58,0	-84,9	-10,9	47,1	95,8

 

 

 

Рисунок 10.7

 

Как видно из таблицы, наибольшими являются напряже­ния во внутренних точках сечения «С» участка АС, т. е. опасным в данном случае является сечение «С»участка АС,несмотря на то, что абсолютное значение продольной силы в этом сечении меньше, чем в сечении «С»участка ВС,при равных изгибающих моментах.

Эпюра нормальных напряжений для опасного сечения приведена на рисунке 10.7 справа. Здесь же штриховой прямой показана эпюра нормальных напряжений в соответствующем прямом брусе, для которого напряжения в крайних волок­нах, связанные с изгибающим моментом, вычислены по фор­муле (10.11):

max σ_М^пр = ± = ± = ± 81,1 кгс/см².

10.3.2. Прямоугольное сечение (рисунок 10.8)

Основные размеры: b = 6 см; h=10 см; ρ_нар = 25 см; ρ_вн=15см.

Определение положения нейтральной оси.

Как и в предыдущем примере, брус имеет очень большую кривизну (R:h = 20:10 = 2<<3).

Поэтому нужно пользоваться точной формулой для радиу­са кривизны нейтрального слоя:

r = = = = 19,576 см,

y_o = R – r = 20 – 19,576 = 0,424 см.

Для сравнения определим у_oпо приближенной формуле (10.10). Площадь сечения: F = b∙h = 6∙10 = 60 см². Главный центральный момент инерции:

I_x = = = 500 см⁴,

y_o ≈ = = 0,417 см.

Напряжения, связанные с изгибающим моментом:

а) в наружных волокнах:

y_нар = + y_o = + 0,424 = 5,424 см;

ρ_нар = R + = 20 + = 25 см;

(σ_M)_нар = ∙ = ∙ = - M∙0.00853 (кгс/см²);

б) во внутренних волокнах:

y_вн = -( - y_о) = -( - 0,424) = -4,576 см;

ρ_вн = R - = 20 - = 15 см;

(σ_M)_вн = ∙ = ∙ = M∙0.0120 (кгс/см²).

 

 

 

Рисунок 10.8

 

Напряжения, связанные с продольной силой

 

σ_N = = (кгс/см²).

Суммарные напряжения в наружных волокнах

σ_нар = - M∙0.00853 + (кгс/см²).

 

Суммарные напряжения во внутренних волокнах

σ_вн = M∙0.0120 + (кгс/см²).

Результаты вычислений для трех сечений приведе­ны в таблице.

 

Таблица 10.4

Сечение	M кгс∙см	N кгс	(σM)нар кгс/см^2	(σM)вн кгс/см^2	σN кгс/см^2	σнар кгс/см^2	σвн кгс/см^2
«С» уч.ВС		-964	-68,0	95,6	-16,1	-84,1	79,5
«С» уч.АС		-118	-68,0	95,6	-2,0	-70,0	93,6
«К»	-6810	-857	58,2	-81,7	-14,3	-43,9	96,0

 

Как видно из таблицы, в данном случае опасным оказалось сечение «К»,несмотря на то, что абсолютные величины из­гибающего момента и продольной силы в этом сечении мень­ше, чем в сечении «С»участка ВС.

Эпюра нормальных напряжений для сечения «К»построе­на на рисунке 8 справа. Для сравнения здесь же показана {штри­ховой прямой) эпюра нормальных напряжений в прямом брусе. Наибольшие напряжения σ_М^пр для этой эпюры вычис­лены по формуле (11.16):

max σ_М^пр = ± = ± = ± 68,1 кгс/см².

10.3.3. Сечение в виде равнобедренного треугольника (рисунок 10.9)

Основные размеры: b = 9 см; h = 9 см;

ρ_нар = R + ∙h = 20 + ∙9 = 26 см;

ρ_вн = R - ∙h = 20 - ∙9 = 17 см.

Определение положения нейтральной оси

Как и в предыдущих примерах, брус имеет очень большую
кривизну (R: h = 20:9 = 2,22<<3).

Поэтому нужно пользоваться точной формулой для радиу­са кривизны нейтрального слоя:

r = = = 19, 786 см,

y_o = R – r = 20 – 19,786 = 0,214 см.

 

Для сравнения определим y_o по приближенной формуле (10.11).

Площадь сечения:

F = = = 40,5 см².

Главный центральный момент инерции

I_x = = = 182,2 см⁴,

y_o ≈ = = 0,225 см.

 

Напряжения, связанные с изгибающим моментом:

а) в наружных волокнах:

y_нар = ∙ h + y_о = ∙9 + 0,214 = 6,214 см;

(σ_M)_нар = ∙ = ∙ = - M∙0,0276 (кгс/см²);

Рисунок 10.9

б) во внутренних волокнах:

y_вн = - = - = -2,786 см;

(σ_M) _вн = ∙ = ∙ = M∙0,0189 (кгс/см² );

Напряжения, связанные с продольной силой

σ_N = = (кгс/см²).

Суммарные напряжения в наружных волокнах

σ_нар = - M∙0.0276 + (кгс/см²).

Суммарные напряжения во внутренних волокнах

σ_вн = M∙0.0189 + (кгс/см²).

 

Результаты вычислений для трех сечений приведены в таб­лице.

 

Таблица 10.5

Сечение	M кгс∙см	N кгс	(σM)нар кгс/см^2	(σM)вн кгс/см^2	σN кгс/см^2	σнар кгс/см^2	σвн кгс/см^2
«С» уч.ВС		-964	-220,5	150,5	-24,8	-245,3	125,7
«С» уч.АС		-118	-220,5	150,5	-2,9	-223,4	147,6
«К»	-6810	-857	188,0	-128,9	-21,2	166,8	150,1

 

В данном случае опасным является сечение «С»участка ВС. Эпюра нормальных напряжений для этого сечения приведена на рисунке 10.9 справа. _t

Для сравнения вычислим напряжения в крайних волокнах

соответствующего прямого бруса (эпюра показана штриховой прямой).

(σ_М^пр)_нар = - = - = - 262 кгс/см²,

(σ_М^пр)_вн = = = 131 кгс/см².

10.3.4. Сечение в виде равнобедренной трапеции (рисунок 10.10)

Основные размеры: b_нар = 6 см; b_вн = 10 см; h = 6 см.

Расстояние от большего основания до центра тяжести:

a = = = 2,75 см;

ρ_нар = R + (h - a) = 20 + (6 - 2,75) = 23,25 см;

ρ_вн = R - a = 20 – 2,75 = 17,25 см.