Уровень значимости и мощность критерия. Ошибки первого и второго рода.

Проверяя гипотезы с помощью статистического критерия, может возникнуть одна из четырех ситуаций: 1) гипотеза H₀ истинна (и поэтому H₁ – ложна) и предпринимается действие А; 2) гипотеза H₁ истинна (и поэтому H₀ – ложна) и предпринимается действие А; 3)) гипотеза H₀ истинна (и поэтому H₁ – ложна) и предпринимается действие В; 4) гипотеза H₁ истинна (и поэтому H₀ – ложна) и предпринимается действие В. В ситуациях 2 и 3 получается ошибка. Существует 2 типа ошибок. Ошибка, состоящая в принятии гипотезы H₀, когда она ложна (ошибка второго рода), качественно отличается от ошибки, состоящей в отвержении H₀, когда она истинна (ошибка первого рода). При этом числа α_i = α_i(δ) = P_i(δ(X)≠ H_i), характеризующие вероятность отвержения гипотезы H_i, когда она верна, называют вероятностями ошибок (i+1)-го рода критерия δ. Набором вероятностей α_i(δ) ошибочных решений характеризуется кач-вом критерия δ. Правильное решение также может быть принято двумя способами (ситуации 1 и 4): когда гипотеза H₀ принимается, ибо она верна, и когда гипотеза H₀ отвергается, ибо она ложна. В ситуации 1 не совершается ошибка первого рода, в ситуации 4 – второго рода.

Уровень значимости критерия не меняет степени риска, связанного с возможностью ошибки второго рода, т.е. с принятием неверной гипотезы. И при данном уровне значимости можно по-разному определить критическую область. Как правило, ее определяют так, чтобы мощность критерия 1 – α₁(δ) была возможно большей: P (X ] x₁; x₂[|H₁) = max. Мощностью критерия δ называется вероятность 1 – α₁(δ) несовершения ошибки второго рода. Чем больше мощность критерия, тем меньше вероятность принятия неверной гипотезы.

 

Критерий согласия.

Критерий согласия Пирсона основан на выборе определенной меры расхождения между теоретическим и эмпирическим (полученным из эксперимента) распределениями. Причем задачу проверки согласованности теории с опытными данными можно сформулировать в следующем виде: имеется выборка х₁, х₂, …, х_n наблюденных значений некоторой СВ Х. Требуется определить, что выборочное распределение принадлежит определенному распределению (нормальному, биномиальному, показательному и т.д.) – гипотеза Н₀ против альтернативной гипотезы Н₁ – распределение не принадлежит выбранному распределению. Допустим вначале, что гипотеза Н₀ полностью определяет вид функции Р, и вероятность P(x_j S_i) может быть вычислена для любого заданного мн-ва S₁, S₂, …, S_k – это либо интервалы для непрерывной СВ, либо группы отдельных значений дискретной СВ, не имеющие общих точек. Пусть p_i = P(x_j S_i) – вероятность того, что СВ Х принимает значения, принадлежащие мн-ву S_i и =1, причем все p_i>0, i = . Соответствующие групповые частоты в выборке m₁, m₂, …, m_k, т.е. m_i – это число значений СВ Х из выборки, попавших в S_i. Ясно, что =n. Если проверяемая гипотеза Н₀ верна, то распределение выборки можно рассматривать как статистический аналог для генерального распределения, определяемого функцией р(х). Это значит, что m_i представляет собой частоту появления события с вероятностью p_i = P(S_i) в нашей последовательности из n наблюдений. Следовательно, любое мн-во S_i имеет в первом распределении относительные частоты m_i/n, а во втором – вероятности p_i. Тогда, согласно методу наименьших квадратов, за меру расхождения между распределением выборки и теоретическим распределением примем величину C_i(m_i/n - p_i)², где C_i – произвольный коэффициент. Пирсон доказал, что если C_i = n/ p_i, то получится мера расхождения вида χ² = , такая, что при увеличении объема выборки выборочное рапределение величины χ² стремится к предельному распределению χ² с υ = κ – r – 1 степенями свободы (к – число интервалов или групп, на кторые разбито все мн-во наблюденных данных, r – число параметров гипотетического распределения вероятностей Р, оцениваемых по данным выборки). Это утверждение следует из того, что если гипотеза Н₀ верна, то совместным распределением групповых частот m_i, i = , является простое обощение биномиального распределения, и тогда случайные величины X_i = (m_i - np_i)/ нормально распределены, а их сумма квадратов χ² = имеет распределение χ² с υ = κ – r – 1 степенями свободы. Для того, чтобы величина критерия приближенно имела χ²-распределение, теоретические частоты np_i должны быть не слишком малыми.