Уровень значимости и мощность критерия. Ошибки первого и второго рода. 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Уровень значимости и мощность критерия. Ошибки первого и второго рода.



Проверяя гипотезы с помощью статистического критерия, может возникнуть одна из четырех ситуаций: 1) гипотеза H0 истинна (и поэтому H1 – ложна) и предпринимается действие А; 2) гипотеза H1 истинна (и поэтому H0 – ложна) и предпринимается действие А; 3)) гипотеза H0 истинна (и поэтому H1 – ложна) и предпринимается действие В; 4) гипотеза H1 истинна (и поэтому H0 – ложна) и предпринимается действие В. В ситуациях 2 и 3 получается ошибка. Существует 2 типа ошибок. Ошибка, состоящая в принятии гипотезы H0, когда она ложна (ошибка второго рода), качественно отличается от ошибки, состоящей в отвержении H0, когда она истинна (ошибка первого рода). При этом числа αi = αi(δ) = Pi(δ(X)≠ Hi), характеризующие вероятность отвержения гипотезы Hi, когда она верна, называют вероятностями ошибок (i+1)-го рода критерия δ. Набором вероятностей αi(δ) ошибочных решений характеризуется кач-вом критерия δ. Правильное решение также может быть принято двумя способами (ситуации 1 и 4): когда гипотеза H0 принимается, ибо она верна, и когда гипотеза H0 отвергается, ибо она ложна. В ситуации 1 не совершается ошибка первого рода, в ситуации 4 – второго рода.

Уровень значимости критерия не меняет степени риска, связанного с возможностью ошибки второго рода, т.е. с принятием неверной гипотезы. И при данном уровне значимости можно по-разному определить критическую область. Как правило, ее определяют так, чтобы мощность критерия 1 – α1(δ) была возможно большей: P (X ] x1; x2[|H1) = max. Мощностью критерия δ называется вероятность 1 – α1(δ) несовершения ошибки второго рода. Чем больше мощность критерия, тем меньше вероятность принятия неверной гипотезы.

 

Критерий согласия.

Критерий согласия Пирсона основан на выборе определенной меры расхождения между теоретическим и эмпирическим (полученным из эксперимента) распределениями. Причем задачу проверки согласованности теории с опытными данными можно сформулировать в следующем виде: имеется выборка х1, х2, …, хn наблюденных значений некоторой СВ Х. Требуется определить, что выборочное распределение принадлежит определенному распределению (нормальному, биномиальному, показательному и т.д.) – гипотеза Н0 против альтернативной гипотезы Н1 – распределение не принадлежит выбранному распределению. Допустим вначале, что гипотеза Н0 полностью определяет вид функции Р, и вероятность P(xj Si) может быть вычислена для любого заданного мн-ва S1, S2, …, Sk – это либо интервалы для непрерывной СВ, либо группы отдельных значений дискретной СВ, не имеющие общих точек. Пусть pi = P(xj Si) – вероятность того, что СВ Х принимает значения, принадлежащие мн-ву Si и =1, причем все pi>0, i = . Соответствующие групповые частоты в выборке m1, m2, …, mk, т.е. mi – это число значений СВ Х из выборки, попавших в Si. Ясно, что =n. Если проверяемая гипотеза Н0 верна, то распределение выборки можно рассматривать как статистический аналог для генерального распределения, определяемого функцией р(х). Это значит, что mi представляет собой частоту появления события с вероятностью pi = P(Si) в нашей последовательности из n наблюдений. Следовательно, любое мн-во Si имеет в первом распределении относительные частоты mi/n, а во втором – вероятности pi. Тогда, согласно методу наименьших квадратов, за меру расхождения между распределением выборки и теоретическим распределением примем величину Ci(mi/n - pi)2, где Ci – произвольный коэффициент. Пирсон доказал, что если Ci = n/ pi, то получится мера расхождения вида χ2 = , такая, что при увеличении объема выборки выборочное рапределение величины χ2 стремится к предельному распределению χ2 с υ = κ – r – 1 степенями свободы (к – число интервалов или групп, на кторые разбито все мн-во наблюденных данных, r – число параметров гипотетического распределения вероятностей Р, оцениваемых по данным выборки). Это утверждение следует из того, что если гипотеза Н0 верна, то совместным распределением групповых частот mi, i = , является простое обощение биномиального распределения, и тогда случайные величины Xi = (mi - npi)/ нормально распределены, а их сумма квадратов χ2 = имеет распределение χ2 с υ = κ – r – 1 степенями свободы. Для того, чтобы величина критерия приближенно имела χ2-распределение, теоретические частоты npi должны быть не слишком малыми.

 

 



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2016-09-19; просмотров: 429; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 54.146.154.243 (0.013 с.)