Вычисление вер. Попадания св, подчиненной нормальн. Закону, в задан. Интервал. Правило «трех сигм».

Для вычисления вероятности попадания СВ, распределенной нормально в задан. интервал (α;β) можно воспользоваться функцией Лапласа: Φ(х) = . Геометрически функция Лапласа представляет собой площадь под стандартной нормальной кривой на отрезке [-x; x]. Теор.: Функция распределения СВ Х, распределенной по нормальн. закону выражается через функцию Лапласа по формуле: F(x) = ½ + ½ Φ((x – a)/σ). Доказ-во: Используя формулу связи между функцией распределения и функцией плотности распределения, имеем: F(x) = . Сделаем замену: t = (x – a)/σ; x = tσ+a; dx = σdt. Если х→ - ∞, то t→ - ∞; если t→x, то t→(x – a)/σ. Получаем = . = . = ½ Φ((x – a)/σ). Значит F(x) = + ½ Φ((x – a)/σ) = ½ + ½ Φ((x – a)/σ). Геометрически функция распределения представляет собой площадь под нормальной кривой на интервале (- ∞; х).

Определим далее, какой следует взять интервал с ценром в точке x=m, чтобы почти все значения СВ принадлежали ему. Для этого рассмотрим последовательно интервалы: и т.д. Получим: ; ; ; . Как видно из вычислений, интервалом практически возможных значений СВ будет интервал , т.к. последующ. вероятности увеличиваются незначительно. Это означает, что вер. того, что абсолютн. величина отклонений превысит утроенное среднее квадратическ. отклонение, очень мала. Т.о., зная среднее квадратич. отклонение и мат. ожидание СВ, ориентировочно можно указать интервал ее практически возможных значений. Это правило называется правилом трех сигм.

 

38. Понятие закона больших чисел.

Содержание закона больших чисел в широком смысле: при очень большом числе случайных явлений средний их рез-т практически перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности. В узком смысле слова под законом больших чисел в теории вероятностей понимается ряд математических теорем, в каждой из которых для тех или иных условий устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа опытов к некоторым определенным постоянным. Простейшей из этих теорем является теорема Бернулли. Она утверждает, что при большом числе опытов частота события приближается (точнее – сходится по вероятности) к вероятности этого события. Другие, более общие формулировки, устанавливабт факт и условия сходимости по вероятности тех или иных СВ к постоянным, не случайным величинам. Закон больших чисел играет важную роль в практических применениях теории вероятности. Св-во случайных величин при определенных условиях вести себя практически как не случайные позволяет уверенно оперировать с этими величинами, предсказывать рез-ты массовых случайных явлений (это большое число выполняемых однородных опытов или большое число складывающихся случайных воздействий, порождающих в своей совокупности случайную величину, подчиненную вполне определенному закону) почти с полной опреленностью.

 

Неравенство Чебышева.

Нер-во Чебышева относится к группе «закона больших чисел».

Пусть имеется СВ Х с мат. ожиданием m_x и D_x. Нер-во Чебышева утверждает, что, каково бы ни было положительное число α, вероятность того, что величина Х отклонится от своего мат. ожидания не меньше чем на α, ограничена сверху величиной D_x/ α²: P(|X - m_x |≥α)≤ D_x/ α². Доказ-во: Пусть величина Х прерывная, с рядом распределения:

Х	x1	x2	…	xn
p	p1	p2	…	pn

Изобразим возможные значения величины Х и ее мат. ожидание m_x в виде точек на числовой оси Ox. Зададим некоторым значением α>0 и вычислим вероятность того, что величина Х отклонится от своего мат. ожидания не меньше, чем на α: P(|X - m_x |≥α) – формула (1). Для этого отложим от точки m_x вправо и влево по отрезку длиной α; получим отрезок АВ. Вероятность (1) есть не что иное, как вероятность того, что случайная точка Х попадет не внутрь отрезка АВ, а вовне его: P(|X - m_x |≥α) = P(X AB). Для того, чтобы найти эту вероятность, нужно просуммировать вероятности всех тех значений Х, которые лежат вне отрезка АВ. Запишем это следующим образом: P(|X - m_x |≥α) = - формула (2), где запись |X - m_x |≥α под знаком суммы ознаачет, что суммирование распространяется на все те значения, для которых точки Х лежат вне отрезка АВ. С другой стороны напишем выражение дисперсии величины Х: D(X) = M[(X - m_x)²] = - формула (3). Т.к. все члены суммы (3) неотрицательны, она может только уменьшиться, если мы распространим ее не на все значения Х, а только на некоторые, в частности на те, котрые лежат вне отрезка АВ: D(X) ≥ . Заменим под знаком суммы выражение |X - m_x | через α. Т.к. для всех членов суммы |X - m_x |≥α, то от такой замены сумма тоже может уменьшится; значит, D(X) ≥ . Но согласно формуле (2) сумма, стоящая в правой части последнего рав-ва есть не что иное, как вероятность попадания случайной точки вовне отрезка АВ; следовательно, D(X) ≥ α²P(|X - m_x |≥α), откуда непостредственно вытекает доказываемое нер-во. В случае, когда величина Х непрерывна, доказ-во проводится аналогичным образом с заменой вероятностей p элементом вероятности, а конечных сумм – интегралами. Действительно, P(|X - m_x |>α) = , где f(x) – плотность распределения величины Х. Далее, имеем: D(X) = ≥ , где знак |X - m_x |>α под интегралом означает, что интегрирование распространяется на внешнюю часть отрезка АВ. Заменяя |X - m_x | под знаком интеграла через α, получим: D(X) ≥ α² = α²P(|X - m_x |>α), откуда и вытекает нер-во Чебышева для непрерывных величин.

Теорема Чебышева.

Эта теорема устанавливает связь между средним арифметическим наблюденных значений СВ и ее мат. ожиданием.

Теор.: При достаточно большом числе независимых опытов среднее арифметическое наблюденных значений СВ сходится по вероятности к ее мат. ожиданию. Запишем теорему Чебышева в виде формулы. Для этого напомним смысл термина «сходится по вероятности». Говорят, что СВ Х_n сходится по вероятности к величине а, если при увеличении n вероятность того, что Х_n и а будут сколь угодно близки, неограниченно приближается к единице, а это значит, что при достаточно большом n P(|Х_n – a|<ε)>1 – δ, где ε, δ – произвольно малые положительные числа. Запишем в аналогичной форме теорему Чебышева. Она утверждает, что при увеличении n среднее арифметическое сходится по вероятности к m_x, т.е. P(| - m_x|<ε)> 1 – δ. Докажем это нер-во. Величина Y = имеет числовые хар-ки m_y = m_x; D_y = D_x/n. Применим к СВ Y нер-во Чебышева, полагая, что α = ε: P(|Y - m_y| ≥ε) ≤ D_y/ε² = D_x/n ε². Как бы мало ни было число ε, можно взять n таким большим, чтобы выполнялось нер-во D_x/n ε²<δ, где δ – сколь угодно малое число. Тогда P(| - m_x|≥ε) <δ, откуда, переходя к противоположному событию, имеем: P(| - m_x|<ε)> 1 – δ, что и требовалось доказать.