Занятие3. Системы линейных уравнений.

План:

1.Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц.

2.Система линейных уравнений. Решение системы. Равносильность ситемы.

3. Теорема Кронекера – Капели.

4. Матричный метод решения системы.

5. Метод Крамера.

6. Решение задач.

1.

2.

3.

4.

Занятие 4. Системы линейных уравнений.

План:

1. Метод Гаусса.

2. Исследование системы линейных уравнений.

3. Система линейных однородных уравнений.

4. Решение задач.

Решить системы.

 

Контрольная работа, коллоквиум.

ДЕ 2.

Занятие 1. Векторы.

План:

1.Вектор. Коллинеарность векторов.

2. Равенство векторов.

3. Линейные операции над векторами.

4. Координаты вектора.

5. Проекция вектора на ось.

6. Модуль вектора.

7. Решение задач.

1. В параллелограмме ABCD даны стороны

Выразить через и векторы

 

2.В Треугольнике ABC проведены меридианы AK, BL и CM. Выразить и через векторы и .

 

3.На прямой проходящей через точки А (-3;8;2) и B (1;-2;0) найти точку С, абсцисса которой .Выберите правильный ответ.

 

4.Найти направляющие косинусы вектора

 

5. Даны векторы и . Найти векторы: ; .

 

Занятие 2.Скалярное произведение векторов. Векторное произведение векторов.

План:

1. Скалярное произведение векторов (определение), свойства.

2. Скалярное произведение в координатной форме.

3. Угол между векторами.

4. Условие перпендикулярности векторов.

5.Определение векторного произведения.

6. Геометрический смысл векторного произведения.

7. Решение задач.

1 Дано =5, =6. Найти скалярное произведение векторов и , если угол между ними равен 120°

2.Найти угол в треугольнике с вершинами A(1;2;-1), B(5;5;11), C(13;18;20)

3. Даны векторы , , . Найти проекцию вектора на вектор .

4. Даны векторы и . При каком значении m эти векторы перпендикулярны?

5.Даны три последовательные вершины параллелограмма А(-3;-2;0), В(3;-3;1) и С(5;0;2). Найти четвёртую вершину D и угол между векторами и .

6. Даны векторы , и . Найти проекцию вектора на вектор .

7. Даны векторы и . При каком значении m векторы перпендикулярны?

8 Найти площадь треугольника с вершинами А(2;2;2), В(1;3;3), С(3;4;2).

9 Упростить:

10Вычислить площадь треугольника с вершинами А(-3;-2;-4), В(-1;-4;-7), С(1;-2;2).

11. Вычислить площадь и высоту параллелограмма, построенного на векторах

12 Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и , где .

13 Вычислить диагонали и площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

 

Занятие 3. Смешанное произведение векторов. Квадратичные формы.

План:

1. Смешанное произведение векторов (определение) и его свойства.

2. Компланарность векторов.

3.Объем параллелепипеда.

4. Деление отрезка в данном отношении.

5. Тестирование.

Примерные задания для тестирования.

1. Проверить, является ли векторы компланарными?

Да.

Нет.

2. Найти объём тетраэдра с вершинами в точках А(-1;1;0), В(2;-2;1), С(3;1;-1), D(1;0;-2).

6/25

25/6

3/5

3. Вычислить объём параллелепипеда, построенного на векторах и .

10 куб. ед.

11 куб. ед.

12 куб. ед.

13 куб. ед.

4. Установить, лежат ли в одной плоскости точки А(4;3;10), В(5;1;5), С(2;2;5), D(3;4;12).

Да.

Нет.

5. В тетраэдре с вершинами D(-3;-3;-3), A(2;-1;-3), B(-1;2;3) и C(-2;-2;1). Найти площадь грани АВС и длину высоты, проведённой к этой грани.

куб. ед.

куб. ед.

куб. ед.

6.Выяснить, компланарны ли векторы ?

Нет.

Да.

7. Даны векторы , и . Найти проекцию вектора на вектор .

-11/14

-14/11

14/11

11/14

8. Даны векторы и . При каком значении m векторы перпендикулярны?

 

ДЕ 3.

Занятие 1. Прямая на плоскости

План:

1. Уравнение линии на плоскости.

2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

3. Уравнение прямой в отрезках.

4. Уравнение прямой, проходящей через две точки.

5. Нормальное уравнение прямой.

6. Общее уравнение прямой.

7. Решение задач.

1. Проверить, принадлежат ли точки A(3; 14), B(4; 13) прямой 7x-3y+21=0

2. Составить уравнение прямой, пересекающей ось Ox в точке (3; 0), а ось оринат в точке (0; 5).

Ответ: x/3+y/5=1

3. Вычислить угол наклона прямой к оси Ox

Ответ: 120°

4. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и образующей с осью Ox угол 120°

Ответ:

5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку (3; 4) и отсекающей на оси Oy отрезок B=2

Ответ:

6. Составить уравнение прямой, проходящей через точку (-3; -2) и образующей с осью Ox угол arctg2.

Ответ: 2x-y+4=0

7. Составить уравнение прямой, проходящей через точки A(2; -3), B(-1; 4)

Ответ: 7x+3y-5=0

8. Прямая, проходящая через точку A(-2; 3), образует с осью Ox угол 135°. Составить уравение этой прямой.

Ответ: x+y-1=0

9. Через точку A(1; 2) проведена прямая, отсекающая на положительных полусях равные отрезки. Составить ее уравнение.

Ответ: x+y-3=0

10. Уравнение прямой привести к нормальному виду. 5x-12y+26=0

Ответ: