Процессы самоорганизации на листе Мебиуса

11 1 1

Рис 59.

 

В вышеприведенных рассуждениях не требуется с необходимостью двусторонней поверхности. Существенно лишь, чтобы любой достаточно «маленький» кусок поверхности мог быть выделен как двусторонняя поверхность. Это условие выполняется для листа Мебиуса.

Сделаем теперь следующий шаг: заменим сферу односторонней поверхностью (трехмерным аналогом листа Мебиуса). На сфере все локальные системы распадались на два принципиально отличимых класса. Между системами, принадлежащими различным «сторонам», могли устанавливаться только отношения антиподов. На односторонней поверхности произвести разделение всех локальных систем на два класса уже невозможно. Между любой парой систем могут быть установлены связи, осуществленные в метрике данной поверхности, и наряду с этими связями, могут устанавливаться отношения антиподов. Более того, если система занимает достаточно большую часть поверхности, то некоторые части пространственно-целостной системы начинают противостоять друг другу как антиподы.

Рассмотрим следующую упрощенную модель. Предположим, что мы имеем некоторый кусок ленты, разделенный на кадры. Кадры пронумерованы с двух сторон (рис. 59). Полоска ленты склеена в лист Мебиуса, как показано на рис. 60, и некоторая система, «живущая» на его поверхности, начинает упорядочивать эту последовательность. Предположим, что кадры можно произвольным образом переставлять. Однако это неразрешимая задача. Поскольку за исходный и «естественный» объяснительный механизм нами взят механизм логический, то мы имеем право рассматривать подобную «алгоритмическую неприводимость» как причину нескончаемого функционирования системы и, наоборот,—»алгоритмическую приводимость»—как причину прекращения функционирования после достижения «идеала».

«Энергетическая картина» является следствием позиции наблюдателя, который фиксирует связи, лежащие «в метрике» данной поверхности, но не фиксирует связи с антиподами и стремится получить адекватную картину видимой им «односторонней» жизни системы.

Космологическая конструкция

Модели подобного типа, возможно, позволят естественным образом включить «цивилизации» в «физическую картину мира». Цивилизации в рамках янус-космологии могут рассматриваться как области, в которых организованность системы на одной из сторон поверхности значительно превосходит организованность системы-антипода и продолжает увеличиваться. В результате антиподные связи оказываются ослабленными, и в системах начинает доминировать их «логическая сущность».

Некоторые элементы могут иметь лишь одну функцию по отношению только к одной из сторон. По отношению к другой стороне эти элементы являются «пустыми», т.е. «сливаются с фоном». Они не могут быть обнаружены наблюдателем как элементы, однако их естественно наделить способностью взаимодействовать с «видимыми» элементами. Такие физические феномены, как силовые поля, можно попытаться интерпретировать как зоны, занятые «односторонними» элементами.

Некоторая «наша» система, перемещаясь внутри такой зоны, разрушает конструкцию из односторонних элементов на другой стороне. Она должна оплатить «право» переместиться, т.е. улучшить конфигурацию системы антипода. Например, ракета должна сжигать топливо, т.е. улучшать конструкцию системы антипода, чтобы перемещаться в гравитационном поле. Некоторые «наши» элементы также могут быть односторонними, и

В следующий момент пустым окажется только кадр w.

а затем произойдет «аннигиляция»: все организмы исчезнут. Единственная единица будет в кадре Ui.

В дальнейшем наша «вселенная» совершит аналогичную эволюцию в противоположном направлении: она начнет расширяться, затем произойдет аннигиляция. В кадре Ui окажется 1, и все начнется сначала.

Представим себе исследователя, который находится в этой «вселенной» и которому неизвестно существование антиподов. Пусть этот исследователь исповедует принцип близкодействия. Он полагает, что состояние кадра в момент t является функцией состояний этого кадра и его соседей в момент t— 1 (как указывает Э. Ф. Мур, рассматривая обычный клеточный автомат, это соответствует предположению, что взаимодействие не может передаваться со скоростью, превышающей скорость света [24].) Наш исследователь не может пользоваться детерминистской моделью. Он установит, что не всегда предыдущее состояние соседей однозначно определяет последующее состояние кадра. Рассмотрим, например, случай, когда соседями единицы являются единицы. В одном случае из четырех единица будет переходить в единицу. В остальных трех случаях единица будет переходить в ноль. Исследователь вынужден ввести закон распределения. Он полагает, что при данных соседях кадр ведет себя закономерно лишь в среднем, переходя в состояние 1 с вероятностью V4 и в состояние Q с вероятностью 3/4.

Мы построили детерминированную конструкцию, поместили исследователя внутрь ее и установили, что принцип близкодействия, которым он руководствуется, порождает вероятностную модель «вселенной». Гипотетический исследователь может построить и детерминистскую модель, но для этого он должен либо отказаться от принципа близкодействия, либо построить янус-космологию. Развитие клеточных структур на односторонних поверхностях представляет самостоятельный математический интерес. Легко построить двумерную одностороннюю клеточную конструкцию.

Рассмотрим следующий квадрат, разделенный на клетки:

 

Предположим, что его противоположная сторона также разделена на такие же клетки и этот квадрат можно безболезненно для его дальнейшего функционирования деформировать непрерывным образом, а также проделать одно отверстие, скажем, в центральной клетке. Склеим края a₁b₁ и а₄b₄ так, чтобы получилась цилиндрическая поверхность. Затем вывернем часть этой цилиндрической поверхности внутрь и пропустим ее в отверстие. После этого склеим края (окружности) так, чтобы линия a₁a₂a₃a₄ совместилась с линией b₄b₃b₂b₁. В результате мы получим бутыль Клейна (рис. 61). Соседями каждой клетки будем считать восемь клеток, ее обрамляющих. Введем правила размножения и аннигиляции, аналогичные одномерному случаю. Если данная клетка находится в состоянии 0 и хотя бы один сосед находится в состоянии 1, то в следующий момент в этой клетке возникает 1, в противном случае в клетке сохраняется 0. Если клетка находится в состоянии 1 и более пяти антиподов находятся в состоянии 1, то в следующий момент времени клетка перейдет в состояние 0, в противном случае клетка продолжает находиться в состоянии 1.

Будем изображать заданную структуру в виде двух таблиц. Одинаковые по расположению клетки являются антиподами. Развитие «цивилизации» на этой поверхности будет протекать следующим образом:

 

 

Tt	0	1	0		0	0	0
	0	0	0		0	0	0
	1	1	1		0	0	0
tt+l	1	1	1		0	0	0
	1	1	1		0	0	0

 

 

	I	1	1		1	0	1
t+2	1	1	1		1	0	1
	1	1	1		1	0	1
	0	0	0		0	1	0
t+3	0	0	0		0	1	0
	0	0	0		0	1	0
	0	0	0		1	1	1
t+4	0	0	0		1	1	1
	0	0	0		1	1	1
	1	0	1		1	1	1
t+5	1	0	1		1	1	1
	1	0	1		1	1	1

 

 

.

 

T+6		.

Дальнейшая эволюция пойдет по циклу.

Состояние системы «в целом» в момент t полностью определено состоянием системы в момент t— 1. Система замкнута. У нее нет «соседей», которые влияли бы \на переход из одного состояния в другое