Cистемы эконометрических уравнений

 

Не всегда получается описать адекватно сложное социально-экономическое явление с помощью только одного соотношения (уравнения). Кроме того, некоторые переменные могут оказывать взаимные воздействия и трудно однозначно определить, какая из них является зависимой, а какая независимой переменной. Поэтому при построении эконометрической модели прибегают к системам уравнений.

В любой эконометрической модели в зависимости от конечных прикладных целей ее использования все участвующие в ней переменные подразделяются на:

· Экзогенные (независимые) – значения которых задаются «извне», автономно, в определенной степени они являются управляемыми (планируемыми) (X);

· Эндогенные (зависимые) - значения которых определяются внутри модели, или взаимозависимые (Y).

· Лаговые – экзогенные или эндогенные переменные эконометрической модели, датированные предыдущими моментами времени и находящиеся в уравнении с текущими переменными. Например:

y_t – текущая эндогенная переменная,

y_{t -1} – лаговая эндогенная переменная (отстоящая от текущей на 1 период назад),

y_{t -2} – тоже лаговая эндогенная переменная (отстоящая от текущей на 2 периода).

· Предопределенные переменные – переменные, определяемые вне модели. К ним относятся лаговые и текущие экзогенные переменные (x_t, x_t-1), а также лаговые эндогенные переменные (y_{t- 1}).

Все эконометрические модели предназначены для объяснения текущих значений эндогенных переменных по значениям предопределенных переменных.

В дальнейшем для простоты будем рассматривать в качестве предопределенных переменных только текущие экзогенные переменные (х).

Система уравнений в эконометрических исследованиях может быть построена по-разному. Выделяют следующие 3 вида систем уравнений.

1. Система независимых уравнений, когда каждая зависимая переменная (y) рассматривается как функция только от предопределенных переменных (х):

2. Система рекурсивных уравнений, когда в каждом последующем уравнении системы зависимая переменная представляет функцию от зависимых и предопределенных переменных предшествующих уравнений:

В рассмотренных 2-ух видах систем каждое уравнение может рассматриваться самостоятельно, и его параметры можно определить с помощью метода наименьших квадратов (МНК).

3. Система взаимозависимых (совместных, одновременных) уравнений, когда зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть (т.е. выступают в роли признаков-результатов), а в других уравнениях – в правую часть системы (т.е. выступают в роли признаков-факторов) одновременно:

Название «система одновременных уравнений» подчеркивает тот факт, что в системе одни и те же переменные одновременно рассматриваются как зависимые в одних уравнениях и как независимые в других.

В отличие от предыдущих систем каждое уравнение системы одновременных уравнений не может рассматриваться самостоятельно, и для нахождения его параметров традиционный МНК неприменим, т.к. нарушаются предпосылки, лежащие в основе МНК. В результате оценки параметров получаются смещенными.

В эконометрике эта система уравнений также называется структурной формой модели.

Некоторые из уравнений системы могут быть представлены в виде тождеств, т.е. параметры этих уравнений являются константами.

От структурной формы легко перейти к так называемой приведенной форме модели. Число уравнений в приведенной форме равно числу эндогенных переменных модели. В каждом уравнении приведенной формы эндогенная переменная выражается через все предопределенные переменные модели:

Так как правая часть каждого из уравнений приведенной формы содержит только предопределенные переменные и остатки, а левая часть только одну из эндогенных переменных, то такая система является системой независимых уравнений. Поэтому параметры каждого из уравнений системы в приведенной форме можно определить независимо обычным МНК.

Зная оценки этих приведенных коэффициентов можно определить параметры структурной формы модели. Но не всегда, а только если модель является идентифицируемой.

Проблема идентификации.

Модель считается точно идентифицированной, если все ее уравнения точно идентифицированны.

Если среди уравнений модели есть хотя бы одно сверхидентифицированное уравнение, то вся модель считается сверхидентифицированной.

Если среди всех уравнений модели есть хотя бы одно неидентифицированное, то вся модель считается неидентифицированной.

Уравнение называется точно идентифицированным, если оценки структурных параметров можно однозначно (единственным способом) найти по коэффициентам приведенной модели.

Уравнение сверхидентифицировано, если для некоторых структурных параметров можно получить более одного численного значения.

Уравнение называется неидентифицированным, если оценки его структурных параметров невозможно найти по коэффициентам приведенной модели.

Правила идентификации- необходимое и достаточное условия идентификации (применяются только к структурной форме модели).

Введем следующие обозначения:

M - число предопределенных переменных в модели;

m - число предопределенных переменных в данном уравнении;

K – число эндогенных переменных в модели;

k – число эндогенных переменных в данном уравнении.

Необходимое (но недостаточное) условие идентификации уравнения модели:

Для того чтобы уравнение модели было идентифицируемо, необходимо, чтобы число предопределенных переменных, не входящих в уравнение, было не меньше «числа эндогенных переменных, входящих в уравнение минус 1», т.е.: M-m >= k -1;

Если M-m = k- 1, уравнение точно идентифицированно.

Если M-m > k -1, уравнение сверхидентифицированно.

Эти правила следует применять в структурной форме модели.

Достаточное условие идентификации уравнения модели.

Введем обозначения: А – матрица коэффициентов при переменных не входящих в данное уравнение.

Достаточное условие идентификации заключается в том, что ранг матрицы А должен быть равен (К -1). Ранг матрицы – размер наибольшей ее квадратной подматрицы, определитель которой не равен нулю.

Сформулируем необходимое и достаточное условия идентификации уравнения модели:

1) Если M-m > k -1 и ранг матрицы А равен К -1, то уравнение сверхидентифицированно.

2) Если M-m = k -1 и ранг матрицы А равен К -1, то уравнение точно идентифицированно.

3) Если M-m >= k -1 и ранг матрицы А меньше К -1, то уравнение неидентифицированно.

4) Если M-m<k -1, то уравнение неидентифицированно. В этом случае ранг матрицы А будет меньше К -1.

Оценка точно идентифицированного уравнения осуществляется с помощью косвенного метода наименьших квадратов (КМНК).

Алгоритм КМНК включает 3 шага:

1) составление приведенной формы модели и выражение каждого коэффициента приведенной формы через структурные параметры;

2) применение обычного МНК к каждому уравнению приведенной формы и получение численных оценок приведенных параметров;

3) определение оценок параметров структурной формы по оценкам приведенных коэффициентов, используя соотношения, найденные на шаге 1.

Оценка сверхидентифицированного уравнения осуществляется при помощи двухшагового метода наименьших квадратов.

Алгоритм двухшагового МНК включает следующие шаги:

1) составление приведенной формы модели;

2) применение обычного МНК к каждому уравнению приведенной формы и получение численных оценок приведенных параметров;

3) определение расчетных значений эндогенных переменных, которые фигурируют в качестве факторов в структурной форме модели;

4) определение структурных параметров каждого уравнения в отдельности обычным МНК, используя в качестве факторов входящие в это уравнение предопределенные переменные и расчетные значения эндогенных переменных, полученные на шаге 1.

Рассмотрим пример.

Пусть имеется система:

Требуется составить приведенную форму модели, проверить каждое уравнение структурной модели на идентификацию, и предложить способ оценки параметров структурной формы модели.

Решение:

В этой системе y₁, y₂,y₃ - эндогенные переменные (K =3);

x₁, x₂, x₃ - предопределенные переменные (M =3).

K -1=2; K+M =6.

Составим приведенную форму модели:

Проверим, как выполняется необходимое условие идентификации для каждого уравнения.

Для 1-ого уравнения имеем: k ₁=3; m ₁=2;

M-m₁ =1 < k ₁-1=2, следовательно, 1-ое уравнение неидентифицированно.

Для 2-ого уравнения имеем: k ₂=2; m ₂=1;

M-m₂ =2 > k ₂-1=1, следовательно, 2-ое уравнение сверхидентифицированно.

Для 3-его уравнения имеем: k ₃=2; m ₃=2;

M-m ₃=1 = k 3-1=1, следовательно, 3-е уравнение точно идентифицированно.

Рассмотрим, как выполняется достаточное условие идентификации для каждого уравнения системы. Для того, чтобы оно выполнялось необходимо, чтобы определитель матрицы А (матрицы коэффициентов при переменных, не входящих в это уравнение) был равен К -1=2.

Составим матрицу А для 1-ого уравнения системы. В 1-ом уравнении отсутствует лишь одна переменная системы х ₃. Поэтому матрица А будет иметь вид:

х ₃

0 - во 2-ом уравнении

a ₃₃ - в 3-ем уравнении

Ранг данной матрицы равен 1, что меньше К -1=2, следовательно, 1-ое уравнение модели неидентифицированно.

Составим матрицу А для 2-ого уравнения системы. Во 2-ом уравнении отсутствуют переменные y₃, x₂, х₃:

y₃ x₂ x₃

b ₁₃ a ₁₃ 0 - в 1-ом уравнении

1 a ₃₂ a ₃₃ - в 3-ем уравнении

Ранг данной матрицы равен 2, что равно К -1=2, следовательно, 2-ое уравнение модели точно идентифицированно.

Составим матрицу А для 3-его уравнения системы. В 3-ем уравнении отсутствуют переменные y₁, x₂:

y₁ x₂

1 a ₁₂ - в 1-ом уравнении

b ₂₁ 0 - во 2-ом уравнении

Ранг данной матрицы равен 1, что меньше К -1=2, следовательно, 3-е уравнение модели неидентифицированно.

Сделаем выводы: 1-ое и 3-е уравнения системы неидентифицированны (т.к. не выполняются достаточные условия идентификации, а в случае 1-ого уравнения и необходимое условие также). 2-ое уравнение системы сверхидентифицированно. Следовательно, система в целом является неидентифицируемой.

Для оценки параметров 2-ого уравнения можно применить двухшаговый МНК. Параметры 1-ого и 3-его уравнений определить по коэффициентам приведенной формы нельзя. Поэтому модель должна быть модифицирована.

Задание №3

 

На основе данных, приведенных в таблице 3 и соответствующих Вашему варианту (таблица 4) провести идентификацию модели и описать процедуру оценивания параметров уравнений структурной формы модели.

Таблица 3

Уравнение	Вариант уравнения	Коэффициенты перед регрессорами
y2	y3	x1	x2	x3
y1				a11	a21	a31
		b31		a21	a31
		b31	a11	a21
		b31	a11		a31
	b21	b31	a11		a31
	y1	y3	x1	x2	x3
y2		b12	b32			a32
	b12		a12	a22
		b32	a12	a22	a32
	b12	b32	a12	a22
	b12	b32		a22	a32
	y1	y2	x1	x2	x3
y3		b13	b23	a13
	b13			a23	a33
	b13		a13		a33
	b13		a13	a23	a33

 

Таблица 4

№ варианта контрольной работы	Уравнение	№ варианта контрольной работы	Уравнение
y1	y2	y3	y1	y2	y3
	y11	y21	y31		y13	y23	y33
	y11	y21	y32		y13	y23	y34
	y11	y21	y33		y13	y24	y31

Продолжение табл. 4

	y11	y21	y34		y13	y24	y32
	y11	y22	y31		y13	y24	y33
	y11	y22	y32		y13	y24	y34
	y11	y22	y33		y13	y25	y31
	y11	y22	y34		y13	y25	y32
	y11	y23	y31		y13	y25	y33
	y11	y23	y32		y13	y25	y34
	y11	y23	y33		y14	y21	y31
	y11	y23	y34		y14	y21	y32
	y11	y24	y31		y14	y21	y33
	y11	y24	y32		y14	y21	y34
	y11	y24	y33		y14	y22	y31
	y11	y24	y34		y14	y22	y32
	y11	y25	y31		y14	y22	y33
	y11	y25	y32		y14	y22	y34
	y11	y25	y33		y14	y23	y31
	y11	y25	y34		y14	y23	y32
	y12	y21	y31		y14	y23	y33
	y12	y21	y32		y14	y23	y34
	y12	y21	y33		y14	y24	y31
	y12	y21	y34		y14	y24	y32
	y12	y22	y31		y14	y24	y33
	y12	y22	y32		y14	y24	y34
	y12	y22	y33		y14	y25	y31
	y12	y22	y34		y14	y25	y32
	y12	y23	y31		y14	y25	y33
	y12	y23	y32		y14	y25	y34
	y12	y23	y33		y15	y21	y31
	y12	y23	y34		y15	y21	y32
	y12	y24	y31		y15	y21	y33
	y12	y24	y32		y15	y21	y34
	y12	y24	y33		y15	y22	y31
	y12	y24	y34		y15	y22	y32
	y12	y25	y31		y15	y22	y33

Окончание табл. 4

	y12	y25	y32		y15	y22	y34
	y12	y25	y33		y15	y23	y31
	y12	y25	y34		y15	y23	y32
	y13	y21	y31		y15	y23	y33
	y13	y21	y32		y15	y23	y34
	y13	y21	y33		y15	y24	y31
	y13	y21	y34		y15	y24	y32
	y13	y22	y31		y15	y24	y33
	y13	y22	y32		y15	y24	y34
	y13	y22	y33		y15	y25	y31
	y13	y22	y34		y15	y25	y32
	y13	y23	y31		y15	y25	y33
	y13	y23	y32		y15	y25	y34

Эконометрическая модель содержит три уравнения. Количество эндогенных переменных (y), экзогенных переменных (х) и вид уравнения определяются вариантом контрольной работы (таблицы 3 и 4).

Например, для варианта №1 (номер зачетной книжки заканчивается на 01) формируется система уравнений, содержащая уравнения y 11 (1-ый вариант, соответствующий уравнению y 1), y 21 (1-ый вариант, соответствующий уравнению y 2), y 32 (2-ой вариант, соответствующий уравнению y 3) (см. таблицу 4). В результате из таблицы 3 формируем новую таблицу 5 коэффициентов при переменных, в соответствии с вариантом:

Таблица 5

	y2	y3	x1	x2	x3
y11			a11	a21	a31
	y1	y3	x1	x2	x3
y21	b12	b32			a32
	y1	y2	x1	x2	x3
y32	b13			a23	a33

Таким образом, окончательно система уравнений, соответствующая варианту 01, примет вид:

y1=a₁₁·x1+a₂₁·x2+a₃₁·x3

y2=b₁₂·y1+b₃₂·y3+a₃₂·x3

y3=b₁₃·y1+a₂₃·x2+a₃₃·x3