Определение нечеткого множества.

Пусть Е – универсальное множество, х – элемент Е, Р – некоторое свойство. Обычное (четкое) множество А универсального множества Е, элементы которого удовлетворяют свойству Р, определяются как множество упорядоченных пар

,

где - характеристическая функция, принимающая значение 1, если х удовлетворяет свойству Р, и 0 – в противном случае.

Нечеткое множество А универсального множества Е определяется как множество упорядоченных пар с функцией принадлежности , принимающей значение в некотором упорядоченном множестве М (например, М =[0, 1].

Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента х подмножеству А. Множество М называют множеством принадлежностей. Если М ={0, 1},то нечеткое подмножество А может рассматриваться как обычное или четкое множество.

Основные операции над нечеткими множествами

Включение

Пусть А и В нечеткие множества на универсальном множестве Е. А содержится в В, если . Обозначается А В.

Равенство

А и В равны, если . Обозначение: А=В.

Дополнение

Пусть М=[0,1], А и В дополняют друг друга, если . Обозначается В= или .

Пересечение

- наименьшее нечеткое подмножество, содержащееся одновременно в А и В: .

Объединение

- наибольшее нечеткое подмножество, включающее как А, так и В, с функцией принадлежности:

.

Разность

А-В= с функцией принадлежности:

Нечеткие отношения

Нечеткое n-мерное отношение определяется как нечеткое подмножество R на Е, принимающее свои значения в М. В случае n=2 и М=[0,1] нечетким отношением R между множествами Х=Е₁ и Y=Е₂ будет называться функция R: (X, Y) → [0,1], которое ставит в соответствие каждой паре элементов (x,y) X x Y величину .

Обозначение: .

Алгебраические операции над нечеткими отношениями аналогичны операциям с нечетким множествам.

Композиция (свертка) двух нечетких отношений

Пусть R₁ – нечеткое отношение R₁: (X x Y) →[0,1] между X и Y, и R₂ – нечеткое отношение R₂: (Y x Z) →[0,1] между Y и Z. Нечеткое отношение между X и Z обозначается R₁●R₂ и определяется как

,

где символ - обозначает операцию выбора наибольшего по y значения и называется (max-min)-сверткой отношений R₁ и R₂.

Нечеткие выводы

В экспертных и управляющих системах механизм нечетких выводов в своей основе имеет базу знаний, формируемую специалистами предметной области в виде совокупности нечетких предикатных правил вида:

П₁: если х есть А₁, то y есть В₁,

П₂: если х есть А₂,то y есть В₂,

…

П_n: если х есть А_n,то y есть В_n,

где х – входная переменная, y – переменная вывода, А и В – функции принадлежности, определенные на х и y соответственно.

Знания эксперта А→В отражает нечеткое причинное отношение предпосылки и заключения, поэтому его называют нечетким отношением:

R= А→В,

где «→» - нечеткая импликация.

Отношение R можно рассматривать как нечеткое подмножество прямого произведения Х ´ Y полного множества предпосылок X и заключений Y. Таким образом, процесс получения (нечеткого) результата вывода В′ с использованием данного наблюдения А′ и значения А→В можно представить в виде

В′= А′● R= А′●(А→В).

Алгоритм нечеткого вывода

1 Нечеткость (фаззификация, fuzzification). Функции принадлежности, определенные для входных переменных, применяются к их фактическим значениям для определения степени истинности каждой предпосылки каждого правила).

2 Логический вывод. Вычисленное значение истинности для предпосылок каждого правила применяется к заключениям каждого правила. Это приводит к одному нечеткому подмножеству, которое будет назначено переменной вывода для каждого правила. В качестве правил логического вывода используются только операции min (минимума) или prod (умножение).

3 Композиция. Нечеткие подмножества, назначенные для каждой переменной вывода (во всех правилах), объединяются вместе, чтобы сформировать одно нечеткое подмножество для каждой переменной вывода. При подобном объединении обычно используются операции max (максимум) или sum (сумма).

4. Дефаззификация – приведение к четкости (defuzzification). Преобразование нечеткого набора выводов в число.

Более детальное толкование ответа на вопрос смотрите в списке в литературы, приведенной ниже.

Литература

1. Гаврилова Т. А., Хорошевский В. Ф. Базы знаний интеллектуальных систем. — СПб.: Питер, 2000,

2. Гаскаров Д.В. Интеллектуальные информационные системы: учебн.пособие. М.: Высш. шк.,2000

3. Искусственный интеллект: Справочник. В 3-х кн. Кн. 1. Системы общения и экспертные системы/Под ред. Э.В. Попова. - М.: Радио и связь, 1990.

4. Искусственный интеллект: Справочник. В 3-х кн. Кн. 2. Модели и методы/Под ред. Д.А. Поспелова. - М.: Радио и связь, 1990.

5. Искусственный интеллект: Справочник. В 3-х кн. Кн. 3. Программные и аппаратные средства/Под ред. В.А. Захарова, В.Ф. Хорошевского. - М.: Радио и связь, 1990.