Анализ моделей на чувствительность, на максимальность изменения запаса ресурса.

Неизбежное колебание значений таких экономических параметров, как цены на продукцию и сырье, запасы сырья, спрос на рынке и т.д. может привести к неоптимальности или непригодности прежнего режима работы. Для учета подобных ситуаций проводится анализ чувствительности, т.е. анализ того, как возможные изменения параметров исходной модели повлияют на полученное ранее оптимальное решение задачи ЛП.

Для решения задач анализа чувствительности ограничения линейной модели классифицируются следующим образом. Связывающие ограничения проходят через оптимальную точку. Несвязывающие ограничения не проходят через оптимальную точку.

Аналогично ресурс, представляемый связывающим ограничением, называют дефицитным, а ресурс, представляемый несвязывающим ограничением – недефицитным. Ограничение называют избыточным в том случае, если его исключение не влияет на ОДР и, следовательно, на оптимальное решение. Выделяют следующие три задачи анализа на чувствительность.

1.Анализ сокращения или увеличения ресурсов:

• на сколько можно увеличить (ограничения типа ≤) запас

дефицитного ресурса для улучшения оптимального значения ЦФ?

• на сколько можно уменьшить (ограничения типа ≤) запас

недефицитного ресурса при сохранении оптимального значения ЦФ?

2. Увеличение (ограничения типа ≤) запаса какого из ресурсов

наиболее выгодно?

3. Анализ изменения коэффициентов ЦФ: каков диапазон изменения

коэффициентов ЦФ, при котором не меняется оптимальное решение?

 

Антагонистические игры и их свойства.

Игра двух лиц называется антагонистической, если один из игроков выигрывает ровно столько, сколько проигрывает другой. В таких играх интересы ее участников прямо противоположны друг другу.

Процесс разыгрывания конечной антагонистической игры состоит в том, что оба игрока независимо друг от друга выбирают свои стратегии, которые определяют результат игры, отражающийся в матрице выигрышей.

Пример. Рассмотрим игру, в которой участвуют два игрока и каждый из них имеет по две стратегии. Выигрыши игроков определяются следующими правилами: в том случае если оба игрока независимо друг от друга выбирают стратегии с одинаковыми номерами (первый игрок - первую и второй игрок - первую или первый игрок - вторую и второй игрок - вторую), то первый игрок выигрывает рубль, а второй проигрывает рубль. В том случае, если оба игрока выбирают разные стратегии (первый игрок - первую, а второй игрок вторую - или первый игрок - вторую и второй игрок - первую), то первый игрок проигрывает рубль, а второй выигрывает рубль. В этом случае биматрица выигрышей игроков будет иметь вид:

Таблица 2.1. Биматрица выигрышей.

	Стратегии II-го игрока
Стратегии 1-го игрока

Таблица 2.2 Биматрица выигрышей

	Стратегии II-го игрока
Стратегии 1-го игрока		(+1;-1)	(-1;+1)
	(-1;+1)	(+1;-1)

 

Анализ этой биматрицы показывает, что в антагонистической игре сумма выигрышей первого и второго игроков равна нулю, т.е.:

Из-за этого свойства антагонистические игры называют играми с нулевой суммой.

В этих играх выполняется соотношение:

т.е. выигрыш одного игрока равен выигрышу другого, взятого с противоположным знаком? или выигрыш одного игрока равен проигрышу другого. Таким образом, элемент h_ij, с одной стороны, характеризует выигрыш первого игрока, а с другой - проигрыш второго. Наличие этого свойства дает возможность рассматривать не биматрицу, а просто матрицу, в которой каждый из элементов характеризует выигрыши первого игрока и проигрыши второго при выборе ими соответствующих стратегий.

 

Вектор Шепли.

Вектор Шепли — принцип оптимальности распределения выигрыша между игроками в задачах теории кооперативных игр. Представляет собой распределение, в котором выигрыш каждого игрока равен его среднему вкладу в благосостояние тотальной коалиции при определенном механизме ее формирования.

вектор-функция

Вектор Шепли удовлетворяет следующим свойствам(аксиомы):

1. Линейность. Отображение Φ(v) представляет собой линейный оператор, то есть для любых двух игр с характеристическими функциями v и w

Φ(v + w) = Φ(v) + Φ(w);

и для любой игры с характеристической функцией v и для любого α

Φ(αv) = αΦ(v).

2. Симметричность. Получаемый игроком выигрыш не зависит от его номера. Это означает, что если игра w получена из игры v перестановкой игроков, то ее вектор Шепли Φ(w) есть вектор Φ(v) с соответствующим образом переставленными элементами.

3. Аксиома болвана. Болваном в теории кооперативных игр называется бесполезный игрок, не вносящий вклада ни в какую коалицию, то есть игрок i,такой что для любой коалиции K, содержащей i, выполнено:

Аксиома болвана состоит в том, что если игрок i — болван, то Φ(v)i = 0.

4. Эффективность. Вектор Шепли позволяет полностью распределить имеющееся в распоряжении тотальной коалиции благосостояние, то есть сумма компонент вектора Φ(v) равна v(N).