Исследование переходных процессов

ПРИ РАЗРЯДЕ КОНДЕНСАТОРА

Цель работы: ознакомиться с процессом разряда конденсатора в различных цепях с разными параметрами.

Задачи работы:

1. Определить постоянную времени и емкость С конденсатора.

2. Определить период Т, частоту собственных колебаний напряжения и коэффициент затухания колебаний.

 

Приборы и принадлежности: электронный осциллограф, батарея аккумуляторов (12 В), магазин сопротивлений, батарея конденсаторов, поляризационное реле, катушка индуктивности, ключ, соединительные провода.

 

 

Теоретическое введение

Разряд конденсатора через сопротивление

Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из конденсатора емкостью С и сопротивления R, соединенных с источником тока как показано на рис. 1.

 

 

1 К 2

 

 

 

С R

Е

 

 

Рис. 1

 

С помощью ключа К конденсатор присоединяется к источнику напряжения и заряжается. Обозначим напряжение на обкладках конденсатора . Если теперь ключ К повернуть в положение (2), то конденсатор начнет разряжаться через сопротивление R, напряжение на обкладках конденсатора постепенно спадает до нуля. Ток в цепи, начиная от нуля, быстро достигает максимального значения , а затем уменьшается до нуля. Весь этот процесс длится небольшой промежуток времени (доли секунды), величина которого зависит от величины сопротивления R и емкости C конденсатора.

Такой процесс, когда при замыкании цепи величина тока устанавливается не сразу, а постепенно, называется переходным. Запишем второй закон Кирхгофа для цепи, содержащей конденсатор С и сопротивление R:

(1)

Так как , а , то (2)

Подставив выражение (2) в уравнение (1), получим дифференциальное уравнение первого порядка:

или

(3)

Решение этого уравнение имеет вид:

, (4)

где - напряжение на обкладках конденсатора в начальный момент времени (). Произведение , стоящее в показателе степени имеет размерность времени и называется постоянной времени цепи с и С, обозначается :

Тогда уравнение (4) перепишется:

(5)

Уравнение (5) выражает закон изменения напряжения со временем на обкладках конденсатора при его разряде.

Выясним физический смысл постоянной времени. Если , то или .

Следовательно, постоянная времени - это промежуток времени, за который напряжение на обкладках конденсатора при разряде уменьшается в раз.

Величина, обратная , называется коэффициентом затухания.

Коэффициент затухания характеризует скорость уменьшения напряжения при разряде конденсатора. Чем больше R и С, тем меньше , т.е. тем медленнее происходит разряд конденсатора.

 

Разряд конденсатора в цепи, состоящей из сопротивления

И катушки индуктивности

На рис. 2 изображена схема электрической цепи, состоящей из конденсатора С, сопротивления R и катушки индуктивности L.

Соединив ключом клеммы 1 – 3, зарядим конденсатор до напряжения . Если теперь ключом соединить клеммы 2 – 3, конденсатор начнет разряжаться через сопротивление R и катушку индуктивности L. При разряде конденсатора в катушке индуктивности возникает э.д.с. самоиндукции, величина которой с течением времени, пока длится разряд конденсатора, будет изменяться.

 

1 2

 

L

 

Е С

 

R

 

 

Рис. 2

 

Запишем второй закон Кирхгофа для данной цепи:

Заменив в этом уравнении , получим дифференциальное уравнение 2 – го порядка:

(6)

Решение этого уравнения имеет вид:

(7)

 

 

График этой функции имеет вид:

 

 

Анализируя это выражение, можно прийти к следующим заключениям:

1. При разряде конденсатора в цепи, содержащей R, L и C, величина напряжения на обкладках конденсатора совершает затухающие колебания.

2. Величина называется коэффициентом затухания.

3. Амплитуда затухающих колебаний напряжения изменяется по закону

4. Циклическая частота затухающих колебаний меньше собственной частоты и равна:

5. Период затухающих колебаний:

 

С увеличением сопротивления R контура период Т возрастает, а при обращается в бесконечность.

Если , то изменение напряжения на обкладках не носит колебательный характер, и напряжение монотонно уменьшается до нуля. Такой разряд конденсатора называется апериодическим, т.к. в этом переходном процессе не происходит перезарядки конденсатора.

Сопротивление контура, при котором колебательный процесс переходит в апериодический, называется критическим.

Значение критического сопротивления определяется условием: , т.е. , отсюда

Если , то разряд конденсатора в цепи будет представлять собой колебательный процесс, связанный с периодической перезарядкой пластин конденсатора. Как величина напряжения на конденсаторе, так и величина тока в цепи будут совершать затухающие колебания.

Затухание колебаний принято характеризовать логарифмическим декрементом затухания . Логарифмический декремент затухания равен натуральному логарифму отношения амплитуд двух колебаний, измеренных через промежуток времени, равный периоду Т:

Логарифмический декремент затухания обратен по величине числу колебаний N, совершенных за время, в течение которого амплитуда уменьшится в раз:

 

Если вторичное измерение амплитуды напряжения производится через периодов после первого измерения, то

Задание 1.