Метод классического вариационного исчисления

Оптимальные САУ разрабатываются для сложных объектов с многими регулируемыми параметрами.

Состояние объекта управления в процессе управления можно охарактеризовать некоторыми функциями времени , которые называются координатами состояния (переменными состояния). Эти переменные можно рассмотреть как некоторый вектор в n-мерном пространстве:

Информация о текущем состоянии объекта содержится в контролируемых выходных переменных , которые называют выходными координатами:

– определяет качество работы системы.

На объект действуют также внешние и внутренние возмущения:

– выражают нежелательные изменения выходных координат.

Для достижения желательного качества объекта к нему необходимо приложить управляющее воздействие:

Цель управления может быть задана различными способами. Чаще в виде допустимого значения некоторого функционала I, который называется целевой функцией либо критерием оптимизации:

Вектор управления, который обеспечивает экстремум I, называется вектором оптимального управления U₀

Задача оптимизации решается в два этапа:

1) вырабатывается вектор задающих воздействий

2) отрабатываются эти задающие воздействия, т.е. они преобразуются в управляющие

При синтезе оптимальной системы управления возможны два типа задач:

1) известна структура системы и необходимо найти оптимальное значение параметров регулятора;

2) задан ОУ и необходимо найти структуру и параметры регулятора;

В случае, если объект является стационарным и отсутствуют внешние возмущения, то при оптимальном управлении можно ограничиться таким алгоритмом управления, который определит неизменную настройку регулятора. При этом должна быть известна информация о внутренних и внешних возмущениях.

Для нестационарных объектов система должна работать в условиях неопределенности. В этом случае используют принцип адаптации, который позволяет автоматически изменить алгоритм и параметры настройки регулятора.

Пример адаптивной системы

Здесь О - объект управления, УУ - управляющее устройство, состоящее из двух частей: УУ _о и УУ_а, где УУ _о - основное управляющее устройство, а УУ_а - управляющее устройство адаптации.

Контур, образованный УУ _о и О,является основным контуром системы и представляет собой обычную неадаптивную САУ. Управляющее устройство адаптации УУ_а управляет основным управляющим устройством УУ _о, изменяя его оператор, т. е. схему и значения параметров, в соответствии с изменением внешних условий работы и свойств объекта. Для этого УУ_а измеряет в самом общем случае внешние воздействия G и F и выходную и входную величины объекта Y и U. По этим данным определяется значение критерия качества управления J (Y, U, G, F). В зависимости от алгоритма работы устройство УУ _а определяет отклонение критерия качества J от заданного или от экстремального его значения и воздействует на УУ _о так, чтобы ликвидировать это отклонение. Причиной изменения критерия качества J может быть изменение внешних условий работы в виде изменений каких-либо характеристик воздействий G и F или изменение свойств основного контура, т.е. операторов объекта О и основного управляющего устройства УУ _о.

Таким образом, адаптивная САУ содержит два контура управления – основной контур и второй контур – контур адаптации, создаваемый управляющим устройством адаптации УУ_а. Для этого второго контура объектом управления является вся основная САУ. Контур адаптации образует второй уровень управления, второй этаж над основной САУ. Возможен и следующий уровень адаптации, когда управляющее устройство адаптации УУ _а, в свою очередь, подстраивается, изменяется следующим управляющим устройством, которое при изменении внешних условий или свойств первичной адаптивной САУ изменяет алгоритм адаптации, осуществляемой УУ_а. Аналогично возможны многоступенчатые САУ, содержащие большее число уровней адаптации. У таких САУ каждый последующий уровень управляет предыдущим, расширяя диапазон условий, при которых система будет правильно выполнять свою задачу, или повышая качество ее выполнения в заданном диапазоне.

 

Критерии оптимизации

В качестве критерия оптимизации могут выбираться различные экономические и технико-экономические параметры.

При оптимизации статики и установившихся режимов работы многомерных объектов критерии оптимизации формулируются как некоторая функция, характеризующая качество работы объекта.

В качестве критерия оптимизации (на высших уровнях АСУТП) может применяться ф-ция пользы, которая представляет собой некоторую сумму:

1) à max

X – вектор координат состояний объекта

Y – вектор выходных состояний объекта

U – вектор управляющих воздействий

2) максимум прибыли

à max

g – цена

П – производительность

S – затраты

 

3) минимум потерь

à min

X_i(t) – реализуемая переменная технологического процесса

S_i – стоимость потерь от нестабильности i-ой переменной

Во многих случаях качество работы АСУТП оценивается несколькими критериями, часть из которых противоречива. Тогда либо формируют векторный критерий либо используют один показатель качества, а на остальные накладывают ограничения.

Векторный критерий оптимизации:

От векторного критерия переходят к обобщенному скалярному:

С_i – коэффициент, отражающий вклад частного критерия в общий скалярный

Наиболее распространенными критериями оптимизации на уровне САР являются:

1) обеспечение максимального быстродействия

à min

2) максимальная точность

à min

При использовании в качестве функционала этого критерия в системе возникают процессы с большим перерегулированием

3) à min

λ – коэффициент, ограничивающий скорость переходного процесса, т.е. величину перерегулирования.

4) для стохастических систем в качестве критерия оптимизации можно использовать среднее значение квадрата ошибки

à min

5) расход энергии на управление

à min

6) если используются механические источники энергии

à min

U(t) – управляющее воздействие

– скорость изменения выходного сигнала

7) если на объект управления действуют возмущения (контролируемые и неконтролируемые), то в качестве критерия принят функционал, характеризующий взаимную корреляцию между выходом и возмущением:

à min

В общей постановке задачи оптимизации минимизируемый функционал детерминированных систем можно записать в следующем виде:

à min

– функция, характеризующая качество в конечный момент времени, т.е. после завершения переходного процесса.

 

F – подынтегральная функция функционала качества (характеризует динамику).