Сравнительные оценки алгоритмов

При использовании алгоритмов для решения практических задач мы сталкиваемся с проблемой рационального выбора алгоритма решения задачи. Решение проблемы выбора связано с построением системы сравнительных оценок, которая в свою очередь существенно опирается на формальную модель алгоритма.

Будем рассматривать в дальнейшем, придерживаясь определений Поста, применимые к общей проблеме, правильные и финитные алгоритмы, т.е. алгоритмы, дающие j-решение общей проблемы. В качестве формальной системы будем рассматривать абстрактную машину, включающую процессор с фонНеймановской архитектурой, поддерживающий адресную память и набор «элементарных» операций соотнесенных с языком высокого уровня.

В целях дальнейшего анализа примем следующие допущения:

- каждая команда выполняется не более чем за фиксированное время;

- исходные данные алгоритма представляются машинными словами по β битов каждое.

Конкретная проблема задается N словами памяти, таким образом, на входе алгоритма - N_β=N • βбит информации. Отметим, что в ряде случаев, особенно при рассмотрении матричных задач N является мерой длины входа алгоритма, отражающей линейную размерность.

Программа, реализующая алгоритм для решения общей проблемы состоит из М машинных инструкций по β_м битов - М_β=М•β_м бит информации.

Кроме того, алгоритм может требовать следующих дополнительных ресурсов абстрактной машины:

- S_α— память для хранения промежуточных результатов;

- S_γ— память для организации вычислительного процесса (память, необходимая для реализации рекурсивных вызовов и возвратов).

При решении конкретной проблемы, заданной N словами памяти алгоритм выполняет не более, чем конечное количество «элементарных» операций абстрактной машины в силу условия рассмотрения только финитных алгоритмов. В связи с этим введем следующее определение:

Под трудоёмкостью алгоритма для данного конкретного входа - F_α(N), будем понимать количество «элементарных» операций, совершаемых алгоритмом для решения конкретной проблемы в данной формальной системе.

Комплексный анализ алгоритма может быть выполнен на основе комплексной оценки ресурсов формальной системы, требуемых алгоритмом для решения конкретных проблем. Очевидно, что для различных областей применения веса ресурсов будут различны, что приводит к следующей комплексной оценке алгоритма:

Ψ_A =С₁ • F_α(N) + С₂ •М+ С₃ •S_α+ С₄ • S_γ, где С_i - веса ресурсов.

Система обозначений в анализе алгоритмов

При более детальном анализе трудоемкости алгоритма оказывается, что не всегда количество элементарных операций, выполняемых алгоритмом на одном входе длины N, совпадает с количеством операций на другом входе такой же длины. Это приводит к необходимости введения специальных обозначений, отражающих поведение функции трудоемкости данного алгоритма на входных данных фиксированной длины.

Пусть D _А — множество конкретных проблем данной задачи, заданное в формальной системе. Пусть D_Ғ, D _А — задание конкретной проблемы и |D|=N.

В общем случае существует собственное подмножество множества D _А, включающее все конкретные проблемы, имеющие мощность N:

- обозначим это подмножество через D_N:D _N= {D_Ғ, D_N: |D| = N};

- обозначим мощность множества D_N через M_DN → M_DN=|D_N |.

Тогда содержательно данный алгоритм, решая различные задачи размерности N, будет выполнять в каком-то случае наибольшее количество операций, а в каком-то случае наименьшее количество операций. Введем следующие обозначения:

1. F _α ^(N) - худший случай - наибольшее количество операций, совершаемых алгоритмом А для решения конкретных проблем размерностью N:

F _α ^(N) = max { F _α (D)}

DD_N -худший случай на D_N.

2. F _α (N) - лучший случай - наименьшее количество операций, совершаемых алгоритмом А для решения конкретных проблем размерностью N:

F_a (N) = min {F_a (D)}

DD_N - лучший случай на D_N

3. _α(N) - средний случай - среднее количество операций, совершаемых алгоритмом А для решения конкретных проблем размерностью N:

_a(N)=(1/M_DN}·Σ{F_a(D)}

DÎD_N - средний случай на D_N