Перепишем векторное уравнение (1) в скалярном виде

= J ₂ ,(2)

где J ₁ – момент инерции всей системы до сближения гирь,

Момент инерции гири рассчитываем как для материальной точки, m – масса гири.

J ₂ – момент инерции всей системы после сближения гирь,

Выразим угловую скорость через частоту вращения по формуле и подставим в уравнение (2): w = 2pn

откуда

.

Внешние силы не создают вращающего момента относительно оси и, следовательно, не совершают работы.

Поэтому изменение кинетической энергии системы равно работе, совершённой человеком:

А = D W_к = W ₂ – W ₁.

Кинетическая энергия начального положения тела

Кинетическая энергия конечного положения

После преобразований получим выражение

 

После подстановки числовых значений получим:

A = 870 Дж.

Ответ: = 4,2 ; A = 870 Дж.

№ вар.	, кг	, кг	1, м	2, м	, об/с	J 0, кг∙м^2	, об/с	А, Дж
			?	0,4		?	4,2
			1,2	0,5	1,5	2,5	?	?
			1,5	0,45	?	?	4,4
			1,4	0,43		2,4	4,6
			?	0,38	1,7	1,9	4,1
			1,35	?	?	2,6	3,8
	?	?	1,41	?	1,4	2,3	2,7
			1,38	0,41	1,3	1,8	?	?
			?	0,37	?	1,7	4,3
			1,29	0,39	1,6	2,1	?	?

 

ЭНЕРГИЯ. РАБОТА. МОЩНОСТЬ

Задача 12. Автомобиль массой 2 тонны движется в гору. Уклон горы равен 4 м на каждые 100 м пути. Коэффициент трения равен 0,08 (рис. 10.). Найти: а) работу, совершённую двигателем автомобиля на пути в 3 км; б) мощность, развиваемую двигателем, если известно, что этот путь был пройден за 4 мин.

 

Дано:

= 0

m = 2·10^{-3 кг}

sin a = 0,04

m = 0,08

s = 3000 м

t = 240 с

А -? N -?

Рис. 10.

Решение

На автомобиль, движущийся по наклонной плоскости, действуют mg – сила тяжести, N – сила нормальной реакции наклонной плоскости, F_т – сила тяги двигателя, F _тр – сила трения.

Работа, совершённая двигателем автомобиля, равна

 

A = F_т s, (1)

мощность

Для нахождения этих величин необходимо найти силу тяги F_т.

По II закону Ньютона Выбирая направление осей X и Y и проецируя на них векторное уравнение II закона Ньютона для тела, получаем

- F _тр – mg sin a + F_т = m а;

N – mg cos a = 0,

тогда N = mg cos a;

F_т = m a + mg sin a + F _тр.

По определению:

F _тр = m N = m mg cos a;

F_т = ma + mg sin a + m mg cos a.

Ускорение, с которым движется автомобиль, найдём из формулы пути равноускоренного движения. Так как = 0, то и

После подстановки в формулу (1) получим

= =

Подставив числовые значения, получим

 

7·10⁶ Дж;

кВт.

Ответ: А = 7·10⁶ Дж; N = 29,4 кВт.

 

№ вар.	, 10^3кг	sin a	m	S, км	t, c	А, МДж	N, кВт
		0,04	0,05			?	?
	?	0,07	0,03	4,5	?
	2,5	0,09	0,01	?			?
	?	0,02	0,04	3,7	?
	2,6	0,01	0,02	?			?
	1,9	0,02	0,03	2,9		?	?
	3,1	0,04	?	3,1		?
	?	0,01	0,04	2,8	?
	2,8	0,03	?	3,6		?
	3,2	0,05	0,03	3,2		?	?

 

Задача 13. Вентилятор вращается со скоростью, соответствующей 900 . После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки 75 оборотов. Работа сил торможения равна 44,4 Дж. Найти: а) момент инерции вентилятора; б) момент силы торможения.

 

Дано:

= 900 = 15

w = 0

N = 75 об

A = 44,4 Дж

J -? M -?

Решение

Работа сил торможения равна изменению кинетической энергии вентилятора A = DW_k.

Кинетическая энергия вращения

где J – момент инерции; w - угловая скорость; w = 2 pn.

Тогда откуда

Подставляя числовые данные, получим

кг·м².

С другой стороны, работа сил торможения равна произведению момента силы М на угловой путь j: А = Мj. Угловой путь можно выразить через число оборотов N формулой j = 2 p N, тогда А = М 2 p N, откуда

Подставив значения, получим

Н·м.

Ответ: J = 0,01 кг·м²; М = 0,094 Н·м.

 

№ вар.	, об/c	N, об	А, Дж	I, Кг∙м^2	M, Н∙м^2
				?	?
		?	?	0,03	0,094
	?	?		0,01	0,12
	?		?	0,05	0,13
	?	?		?	?
				0,04	0,087
		?	?	0,07	0,11
	?		?	0,02	0,09
				?	?
		?	?	0,06	0,085

 

Задача 14. Мальчик катит обруч по горизонтальной дороге со скоростью 7,2 . На какое расстояние может вкатиться обруч на горку за счёт его кинетической энергии? Уклон горки равен 10 м на каждые 100 м пути (рис. 11.).

Дано:

= 7,2 = 2

sin a = 0,1

-?

Решение

По закону сохранения энергии

 

W ₁ = W ₂, (1)

 

где W ₁ и W ₂ – полная механическая энергия обруча в положениях 1 и 2.

При движении по горизонтальной поверхности обруч обладает кинетической энергией, которая полностью (нет трения) переходит в потенциальную. Кинетическая энергия катящегося обруча складывается из кинетических энергий поступательного и вращательного движений:

 

 

где J – момент инерции обруча; J = m , m – масса обруча, R – радиус обруча.

По соотношению угловых и линейных величин выразим угловую скорость через линейную и радиус:

тогда

Потенциальная энергия W ₂ = m g h, где h – высота горки;

Подставляя W ₁ и W ₂ в формулу (1), получим

Подставив числовые значения, получим

м.

Ответ: l = 4 м.

№ вар.	, км/ч		, м	h, м
	7,2	0,1	?	?
	?	0,2		?
	7,1	?	?
	6,8	0,15	?	?
	5,4	?	?
	?	0,08		?
	?	0,07		?
	6,5	0,14	?	?
	6,7	?	?	1,5
	?	0,21		?

6. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Задача 15. При какой скорости движения частицы её кинетическая энергия равна энергии покоя?

 

Дано:

-?

Решение

 

Полная энергия частицы равна сумме энергии покоя и кинетической энергии:

 

,

откуда

Заменив полную энергию и энергию покоя в формуле, получим

 

Учитывая зависимость массы частицы от скорости , получаем

По условию задачи

 

Откуда ; .

Ответ: = 2,6·10⁸ .

№ вар.	Wk
	W0	?
	2W0	?
	3W0	?
	4W0	?
	5W0	?
	?	2,7∙10^8м/c
	?	3∙10^8м/c
	?	0,3с
	?	0,5с
	?	0,8с

 

Задача 16. Определить импульс и кинетическую энергию электрона, движущегося со скоростью = 0,9 с, где с – скорость света в вакууме.

 

 

Дано:

= 0,9 с

P -? W_k -?

Решение

 

I способ.

Импульс частицы равен произведению массы частицы на её скорость:

P = m . (1)

Так как скорость электрона близка к скорости света, то необходимо учесть зависимость массы от скорости, определяемую по формуле

, (2)

где m – масса движущейся частицы; – масса покоящейся частицы; - скорость частицы, выраженная в долях скорости света.

Заменив в формуле (1) массу m по формуле (2) и приняв во внимание, что , получим

Подставив числовые значения, получим

.

В релятивистской механике кинетическая энергия частицы определяется как разность между полной энергией и энергией покоя этой частицы, то есть W_k = m – = (m – ) .

Учитывая формулу (2), получим

Подставляя числовые значения, получим

Дж.

II способ.

Можно найти кинетическую энергию, используя формулу связи кинетической энергии W_k и импульса:

 

 

Подставив числовые значения, получим

 

Дж.

Ответ: P = 5,6·10^-22 , W_k = 1,06·10^-13 Дж.

№ вар.	способ	V	P, кг∙м/c	Wk, МэВ
	I	0,8с	?	?
	II	?	5,5	?
	I	?	?	0,6
	II	0,7с		?
	I	?	5,1	?
	II	?	?	0,4
	I	0,6с	?	?
	II	?	?	0,3
	I	?	5,7	?
	II	0,4с	?	?

 

Задача 17. На сколько процентов изменится продольный размер протона и электрона после прохождения ими разности потенциалов U = 10⁶ В?

 

Дано:

U = 10⁶ В

m_p = 1,67·10 ^-27 кг

m _е = 9,11·10 ^-31 кг

Решение

Заряд протона и электрона имеет одинаковые числовые значения, поэтому они после прохождения разности потенциалов U приобретает одинаковую кинетическую энергию, равную работе электрического поля:

W _е = qU = 1,6· · = 1,6· Дж = 1 МэВ.

Продольный размер тела

,

где – длина в системе, неподвижной относительно тела; l – длина тела, движущегося со скоростью .