Динамика вращательного движения

Задача 6. На барабан радиусом R = 0,5 м намотан шнур, к концу которого привязан груз m = 10 кг. Определить момент инерции барабана, если груз опускается с ускорением а = 2,04 .

Дано:

R = 0,5 м

m = 10 кг

а = 2,04

J –?

Рис. 5.

Решение

1) Определим все силы, действующие в системе. Изобразим их на рисунке (рис. 5.). На груз действуют силы: тяжести - вниз; натяжения нити - вверх.

На барабан действует сила натяжение нити , приложенная к ободу барабана. Эта сила создаёт вращающий момент, т.к. она приложена в точке касания нити и барабана. Плечо этой силы равно R – радиусу барабана.

На барабан, кроме того, действует сила давления на ось барабана, уравновешенная силой реакции барабана.

2) Составим уравнение движения тел системы в векторном виде:

груз:

барабан:

3) Выберем систему координат. Ось X направим по направлению ускорения груза.

Определим направление углового ускорения и момента силы. Вращение барабана происходит против часовой стрелки, значит вектор момента силы направлен перпендикулярно плоскости чертежа вверх (т.е. к нам). Пусть ось Y для барабана совпадает с направлением вектора момента силы и .

4) Запишем проекции сил на оси координат, чтобы решить векторное уравнение:

(1)

Решим полученную систему:

М = Т R – численное значение момента силы, где R – плечо силы Т;

e = - связь углового и линейного ускорений барабана.

Тогда Т = m (g – a) из уравнения (1); М = m (g – a) R.

Подставив это выражение в уравнение (2), найдём

 

кг^.м² =9,75 кг^.м².

Ответ: момент инерции барабана J = 9,75 кг^.м².

№ вар.	R, м	m, кг	а, м/с^2	J, кг^.м^2
	?		2,1	9,8
	0,5		?	9,6
	0,7	?	1,9	8,7
	0,89		2,4	?
	?		1,5	8,3
	0,43		?	7,8
	0,21	?	2,7	7,7
	0,9		2,2	?
	0,65	?	1,8	8,3
	?		1,7	9,5

 

Задача 7. К ободу однородного диска радиусом R = 0,2 м приложена постоянная касательная сила F = 100 Н. При вращении на диск действует момент сил трения М_тр = 5 Н^.м. Найти массу диска, если известно, что диск вращается с постоянным угловым ускорением e = 100 (рис.6.).

Дано:

R = 0,2 м

F = 100 H

M_тр = 5 Н^.м

e = 100

m -?

 

 

Рис.6.

Решение

Определим направление углового ускорения и момента силы , применяя правило правого винта. Если смотреть с конца вектора , вращение будет происходить против часовой стрелки. Момент сил трения будет тормозить вращение, значит, будет направлен против вращающего момента вдоль оси вращения. Угловое ускорение будет направлено в сторону главного момента всех сил, т.е. в сторону алгебраической суммы моментов и . Тогда можно записать основной закон динамики вращательного движения так:

М - М_тр = Je,

где М = FR.

Момент инерции диска (сплошной цилиндр) J равен Получаем e = F R – M_тр, откуда .

Подставляя численные значения, получаем

= 7,5 кг.

Ответ: масса диска m = 7,5 кг.

№ вар.	R, м	F, Н	Mтр, Н∙м	e, рад/с^2	m, кг
	?		4,5	?	7,2
	0,3	?			?
	0,25		?		?
	0,19		?	?	6,9
	?		4,7	?	8,4
	0,28		?		?
	0,34	?		?	7,8
	0,32		?		?
	0,17	?		?	9,3
	?		5,1		?

 

Задача 8. Две гири массой = 2 кг и = 1 кг связаны нитью, перекинутой через блок. Радиус блока R = 0,1 м, масса m = 1 кг. Найти ускорение, с которым движутся грузы и силы натяжения нитей Т ₁ и Т ₂. Нить нерастяжима и невесома. Блок – однородный цилиндр (рис. 7.).

Дано:

= 2 кг

= 1кг

m =1 кг

R = 0,1 м

а -?, Т ₁ -?, Т ₂ -?

 

Рис.7.

Решение

1) На грузы действуют силы и и

На блок действуют силы натяжения нити и которые равны соответственно

и по третьему закону Ньютона. Ускорения грузов одинаковы, т.к. нить невесома и нерастяжима.

Силы и создают момент силы и , направленные вдоль оси блока в противоположные стороны: .

2) Составим систему уравнений для грузов и блоков:

3) Силы и моменты сил для каждого тела коллинеарные, следовательно, можно переписать уравнение в скалярной форме:

Решим полученную систему уравнений, учитывая, что

Подставим эти выражения в уравнение (3):

т.е.

Просуммируем первые два уравнения системы:

Тогда

или

откуда

= 2,8 .

Из уравнения (1)

Н.

Из уравнения (2)

Ответ: а = 2,8 ; Т ₁ = 14 Н; Т ₂ = 12,6 Н.

 

№ вар.	, кг	, кг	m, кг	R, м	, м/с^2	Т 1, Н	Т 2, Н
				0,1	?	?	?
	?			0,8	2,3		?
		?	?	0,67	2,5
		?		0,5	3,1	?
	?		?	0,4	2,7
				0,3	?	?	?
	?			0,38	2,2		?
		?	?	0,42	3,2
		?		0,8	1,4	?
				0,2	?	?	?

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА И МОМЕНТА

ИМПУЛЬСА

Задача 9. Снаряд массой 50 кг, летящий со скоростью 400 под углом 60⁰ к горизонту, падает в платформу с песком массой 5 ^. 10³ кг и застревает в песке (рис. 8.). Найти скорость платформы, если в момент попадания снаряд: а) платформа была неподвижна; б) платформа двигалась со скоростью 36 навстречу снаряду; в) платформа двигалась со скоростью 36 в направлении полёта снаряда.

Дано:

= 50 кг

= 400

a = 60⁰

= 5 ^. 10³ кг

1) ₂ = 0

2) = 36 = 10

u -? Рис.8.

Решение

Платформа приобретает скорость u в результате взаимодействия со снарядом. Сила взаимодействия системы тел платформа – снаряд является внутренней силой и не изменяет импульс системы. Внешними силами являются сила тяжести, сила нормальной реакции рельсов и сила трения. Если пренебречь действием силы трения на платформу во время удара, то, поскольку силы тяжести и нормальной реакции рельсов строго вертикальны, можно считать, что проекция вектора импульса системы на горизонтальное направление остаётся постоянной.

Запишем для снаряда и платформы закон сохранения импульса при неупругом ударе в векторном виде:

(1)

Выбрав направление оси X совпадающим с направлением полёта снаряда, спроецируем уравнение (1) на ось X, вдоль которой происходит движение платформы для каждого из трёх случаев:

1) , откуда

2)

- 8 .

3)

.

Ответ: = 2 ; = -8 ; = 12 .

№ вар.	, кг	, м/c	a ^0	, 10^3 кг	2, м/c	u, м/c
	?				+10
		?			-10	-2
				?
					?
		?		5,5	+5,7
				?	-5,7	-1,2
			?	5,7	+6
				4,8	-6	?
	?			4,5	+12
			?	3,9	-12	-2

 

Задача 10. Деревянный шарик падает вертикально вниз с высоты 2 м без начальной скорости. Коэффициент восстановления при ударе шарика о пол считать равным 0,5. Найти: а) высоту, на которую поднимается шарик после удара о пол; б) количество тепла, которое выделиться при этом ударе. Масса шарика 100 г.

 

Дано:

= 2 м

V ₀= 0

k = 0,5

m = 0,1 кг

-?

Q -?

Решение

Падая с высоты , шарик падает на пол со скоростью ₁, а отскакивает вверх со скоростью _2.

По определению коэффициент восстановления k =

По закону сохранения энергии и

откуда = . = ^. 2 = 0,5 м.

Количество тепла, выделившегося при ударе шарика о пол, равно разности кинетических энергий тела до удара и после удара:

Дж.

Ответ: = 0,5 м; = 1,48 Дж.

№ вар.	, м	, м/c	k	m, кг	, м	Q, Дж
			0,4	0,1	?	?
	?	?	0,45	0,2	0,7
		0,01	?	?	0,9	1,5
	2,5	0,03	?	?	1,2	1,47
	1,7	0,25	0,3	0,15	?	?
	?	?	0,25	0,25	0,5	1,53
	1,4		?	?	0,6	1,49
	?	?	0,35	0,3	0,9	1,38
	3,2		0,42	0,35	?	?
	2,7	0,17	?	?	0,4	1,41

 

Задача 11. На скамье Жуковского стоит человек и держит в вытянутых руках гири по 10 кг каждая. Расстояние между гирями 1,5 м. Скамья вращается с частотой = 1 . Как изменится частота вращения скамьи и какую работу произведёт человек, если он сблизит руки так, что расстояние между гирями уменьшится до 40 см? Суммарный момент инерции человека и скамьи относительно оси вращения J ₀= 2,5 кг^.м². Ось вращения проходит через центр масс человека и скамьи (рис.9.).

Дано:

= = m = 10 кг

₁ = 1,5 м

₂ = 0,4 м

= 1

J ₀ = 2,5 кг^.м²

-? А -?

Рис.9.

Решение

 

Частота вращения скамьи Жуковского изменяется в результате действий, производимых человеком при сближении гирь. В системе тел скамья – человек – гири взаимодействия этих тел являются внутренними. Все тела системы совершают только вращательное движение вокруг одной и той же оси; они не изменяют момент импульса системы. Внешние силы – сила тяжести, сила нормальной реакции – параллельны оси вращения. (Сила трения в оси не учитывается). Моменты всех внешних сил относительно вертикальной оси вращения скамьи равны нулю. Следовательно, момент импульса системы тел остаётся постоянным. По закону сохранения момента импульса

, (1)

где и - моменты импульса системы до и после сближения гирь.