Динамика поступательного движения твердого тела

Решение

 

1) Положение точки определяется значением координаты x в указанные моменты времени. Подставим заданные момент времени t₁ и t₂ в уравнение движения:

= (4 + 2^.2 + 4 + 0,2 ^. 8)м = 13,6 м; x ₂ = (4 + 2^.5 + 5² + 0,2 ^. 5³)м = 64 м.

2) Значение средней скорости , где D x - изменение расстояния за промежуток времени D t.

3) Общее выражение мгновенной скорости имеет вид

.

Подставив в это выражение заданные значения времени, получим

4) Среднее ускорение , где D - изменение скорости за промежуток времени D t.

5) Общее выражение мгновенного ускорения имеет вид

Подставив численное значение и , получим

Ответ:

№ вар.	S (t), м	, с	, с	, м	, м	1, м/с	2, м/с	< >, м/с	< a>, м/с^2	, м/с^2
	S =5 t ^2– 3 t + 2		?	?	?	?		?	?
	S = t ^2– 3 t + 2	?		?	?		?	?	?	?
	S =4 t ^2– 2 t + 2	?	?	?	?			?	?
	S = – 10 + 7 t – t ^2	?	?		?	?		?	-1	?
	S = – t ^2+ 4 t – 3	?	?	?		?	?		?	-1
	S = t ^2– 3 t + 3			?	?	?	?	?	?	?
	S = – 2+ 7 t – t ^2	?	?			?	?	?	-1	?
	S = t ^2– 6 t + 8	?	?	?	?			?	?
	S = 6 – 5 t + t ^2		?	?	?	?		?		?
	S = – t ^2+ 6 t – 5	?		?	?		?	?	?	?
	S = – 6+ 5 t – t ^2	?	?	?	?			?	?	?
	S = – 7 t + 12 + t ^2	?	?		?	?	-6	?	?
	S = t ^2– 3 t + 2			?	?	?	?	?		?
	S = – t ^2+ 5 t – 4	?	?			?	?	?	?	?
	S = t ^2– 6 t + 8	?	?	?	?			?	?	?

Задача 2. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону φ = 10 + 20 t – 2 t ² рад. Найти: 1) Угловую скорость, угловое ускорение и полное ускорение точки, находящейся на расстоянии R = 0,1 м от оси вращения, для момента времени = 4 с (рис. 1.). 2) Через сколько времени тело остановится? 3)Сколько оборотов сделает до остановки?

Дано:

φ = 10 + 20 t – 2 t ² рад

R = 0,1 м

= 4 c

w = 0

-? ε -? a -? t -? N -?

Рис. 1.

Решение

Угловую скорость ω найдем, взяв первую производную от углового пути φ по времени w = = 20 – 4 t . В момент времени = 4 c,

= 4 . Угловое ускорение ε найдем, взяв первую производную от угловой скорости ω по времени ε = = - 4 Угловая скорость и угловое ускорение направлены вдоль оси вращения в разные стороны, так как движение равнозамедленное. Полное ускорение точки, движущейся по окружности, равно векторной сумме тангенциального (касательного) ускорения , направленного по касательной к траектории, и нормального ускорения , направленного к центру окружности Так как векторы и взаимно перпендикулярны, то модуль ускорения Тангенциальное и нормальное ускорения точки вращающегося тела выражаются формулами: , тогда

Подставляя значения R, ε, ω, получим .

Найдем, через сколько секунд тело остановится. Закон изменения угловой скорости в зависимости от времени w = – ε t, в момент остановки w = 0, следовательно, По условию задачи w = 20 – 4 t, тогда

= 20 и с, то есть через 5с после начала движения тело остановится.

Определим, сколько оборотов сделало тело до полной остановки. Угловой путь φ равен с другой стороны φ = 2 π N, где N – число оборотов. Приравняв эти выражения, найдем N:

Подставляя значения , e, t получим .

Ответ: = 4 ; e = - 4 ; =1,65 ; t = 5 c; N = 8.

№ вар.	φ (t), рад	R, м	, с	w , рад/с	, рад/с	ε , рад/с^2	a, м/с^2	t, с	N
	φ =0,2 t ^2– 0,8 t + 0,15			-0,8	?	?	?	?	?
	φ = 0,02– 0,3 t + t ^2	?	?	?	-0,6			?	?
	φ = t ^2– 0,4 t + 0,03			-0,4	?	?	?	?	?
	φ = 0,06– 0,5 t + t ^2	?	?	?	0,1			?	?
	φ = –0,04+ 0,5 t – t ^2	0,5	?		-2	?	?	?	?
	φ = –0,7 t + t ^2 + 0,12			-0,7	?	?	?	?	?
	φ = t ^2– 0,6 t + 0,08	?		?	?			?	?
	φ = t ^2+ 0,12 – 0,8 t	1,5	?	-0,8		?	?	?	?
	φ =0,3 t ^2+ 5 t – 6		?			?	?	?	?
	φ = t ^2– 0,7 t + 0,1	0,5		-0,7	?	?	?	?	?
	φ = – t ^2+ 0,4 t – 0,03		?		-2	?	?	?	?
	φ = 0,02– 0,3 t + t ^2	?		?	?			?	?
	φ =0,4 t ^2– 0,8 t + 0,15				?	?	?	?	?
	φ = t ^2– 0,8 t + 0,17	0,1			?	?	?	?	?
	φ = 0,3t ^2– 0,2 t + 0,15		?	-0,2		?	?	?	?

ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Задача 3. Два тела массами = 1 кг и = 2 кг связаны невесомой нитью и движутся по горизонтальной поверхности (на Земле) под действием силы F = 10 Н, направленной горизонтально и приложенной к телу . Определить силы, действующие на каждое тело, если коэффициент трения между каждым телом и поверхностью равен = 0,05 (рис.2.).

Дано: Решение

= 1 кг

= 2 кг y y

F = 10 Н

= 0,05

T ₁ -? T ₂ -? m ₂ m ₁ x

F _тр1 -? F _тр2-? 0 0

Рис.2.

1) Тело взаимодействует с Землей, нитью и телом . С Землей тело m ₁ взаимодействует по закону всемирного тяготения, следовательно, на него действует сила, направленная вниз и равная .

2) Тело m ₁ взаимодействует с Землей упруго, появляется упругая сила реакции опоры , направленная вверх.

3) В результате взаимодействия тела с Землей появляется сила трения F _тр1 = m N ₁.

4) Тело взаимодействует с нитью упруго: на него действует сила натяжения нити , направленная влево (нить невесома, поэтому сила взаимодействия между нитью и телом равна 0).

5) На тело действует сила .

Рассуждая также, можно показать, что на тело действуют четыре силы: упругая сила натяжения нити , сила тяжести , упругая сила реакции опоры сила трения F _тр2 = m N ₂.

На основании II закона Ньютона можно видеть, что силы

T ₁ = T ₂ (т.к. нить невесома, масса ее равна 0, т.е. T ₁ – T ₂ = 0, значит, ÷ Т ₁ê=÷ Т ₂ê).

Запишем для каждого тела II закон Ньютона:

;

.

Выберем систему координат для решения векторных уравнений.

Система координат выбирается произвольно, исходя из условий задачи и для каждого тела отдельно.

Возьмем направление оси X в направлении ускорения (слева направо). Ось Y направлена вертикально.

Найдем проекции всех сил на оси координат.

Ось X: I тело: F_x = F; T_x = -T ₁; F _{тр x} = -F _тр1; N_x = 0; g_x= 0.

II тело: T_x = T ₂; F _{тр x} = -F _тр2; = 0; g_x = 0.

Ось Y: I тело: N_y = N ₁; g_y = g.

II тело: = N ₂; g_y = g.

Составим систему уравнений движения для каждого тела.

I тело:

(1)

II тело:

(2)

Найдем силу трения и :

; ; ; .

; ; ; .

Определим ускорение системы тел, подставив и в уравнения (1) и (2):

;

,

, т.к. нить невесома.

Сложив эти два уравнения, получим выражение

;

; ;

.

Зная ускорение, найдем силу натяжения нити, например,

;

Н» 6,6 Н.

Ответ: Н; Н; Н.

№ вар.	, кг	, кг	F, Н		T 1, Н	T 2, Н	F тр1, Н	F тр2, Н
	?			0,03	?	?	0,8	?
		?		?	6,5	?	?	0,7
	?			0,04	?	?	0,5	?
	?			0,02	?	?	0,8	?
		?		?	5,5	?	?	0,7
		?		?	7,2	?	?	0,6
			?	?	?		?	0,5
	?		?	0,03	?		0,6	?
		?		0,02	?	?	?	0,9
			?	?	?		?	0,8

 

Задача 4. На вершине клина укреплен невесомый блок. Через блок перекинута нерастяжимая и невесомая нить, к концам которой прикреплены грузы массами = 1 кг и = 10 кг. Коэффициент трения груза m ₁ о плоскость равен 0,1. Угол плоскости клина с горизонтальной плоскостью равен 30°. Определить ускорение грузов и силу натяжения нити (рис.3.).

Дано:

= 1 кг

= 1 кг

a = 30°

m = 0,1

-? -?

 

Рис.3.

 

Решение

1. Нарисуем силы, действующие на каждое тело.

I тело: , , , .

II тело: , .

2. Составим уравнения движения по II закону Ньютона в векторном виде:

; ;

; .

3. Выберем систему координат (для каждого тела отдельно) для решения векторного уравнения; найдем проекции сил на оси координат:

Ось X: (1)

I тело:

Ось Y: (2)

II тело:

(3)

Из уравнения (2) находим . Тогда .

Решая совместно уравнения (1) и (3), находим ускорение:

;

.

Из уравнения (3) находим:

Н = 14 Н.

Ответ: ; Н.

№ вар.	, кг	, кг	a^0		, м/с^2	, Н
				0,2	?	?
	?	?		0,4	8,7
		?	?	0,45	7,7
				?	6,4	?
				0,1	?	?
	?	?		0,3	7,2
		?	?	0,41	8,5
				?	8,6	?
				0,3	?	?
	?	?		0,2	8,2

Задача 5. Определить силу трения, действующую при движении тела по горизонтальной поверхности, если на тело массой m = 1 кг действует сила 10 Н под углом a = 60° к горизонту. Коэффициент трения равен

m = 0,1. С каким ускорением будет двигаться тело (рис.4.)?

 

Дано:

m = 1 кг

F = 10 Н

a = 60°

m = 0,1

F_тр -? -?

 

Рис. 4.

Решение

1. Нарисуем силы, действующие на тело.

2. Составим уравнение движения (запишем II закон Ньютона) в векторном виде:

.

3. Выберем систему кординат для решения векторного уравнения.

4. Найдем проекции всех сил на оси координат.

Ось X: ; ; ; .

Ось Y: ; ; .

5. Составим систему уравнений для решения векторного уравнения.

 

;

;

.

;

(.)

Ответ: Н; .

№ вар.	, кг	F, Н	a^0		, м/с^2	Fтр , Н
				0,1	?	?
	?			0,2	?	0,13
			?	0,15	4,3	?
		?		0,3	?	0,15
	2,5			0,17	?	?
	?	6,7		0,08	?	0,11
	1,5	5,8	?	0,21	5,2	?
	2,8	9,7		0,19	?	?
	3,1	?		0,16	?	0,09
	1,5	?		0,23	?	0,1

Рис. 5.

Решение

1) Определим все силы, действующие в системе. Изобразим их на рисунке (рис. 5.). На груз действуют силы: тяжести - вниз; натяжения нити - вверх.

На барабан действует сила натяжение нити , приложенная к ободу барабана. Эта сила создаёт вращающий момент, т.к. она приложена в точке касания нити и барабана. Плечо этой силы равно R – радиусу барабана.

На барабан, кроме того, действует сила давления на ось барабана, уравновешенная силой реакции барабана.

2) Составим уравнение движения тел системы в векторном виде:

груз:

барабан:

3) Выберем систему координат. Ось X направим по направлению ускорения груза.

Определим направление углового ускорения и момента силы. Вращение барабана происходит против часовой стрелки, значит вектор момента силы направлен перпендикулярно плоскости чертежа вверх (т.е. к нам). Пусть ось Y для барабана совпадает с направлением вектора момента силы и .

4) Запишем проекции сил на оси координат, чтобы решить векторное уравнение:

(1)

Решим полученную систему:

М = Т R – численное значение момента силы, где R – плечо силы Т;

e = - связь углового и линейного ускорений барабана.

Тогда Т = m (g – a) из уравнения (1); М = m (g – a) R.

Решение

Определим направление углового ускорения и момента силы , применяя правило правого винта. Если смотреть с конца вектора , вращение будет происходить против часовой стрелки. Момент сил трения будет тормозить вращение, значит, будет направлен против вращающего момента вдоль оси вращения. Угловое ускорение будет направлено в сторону главного момента всех сил, т.е. в сторону алгебраической суммы моментов и . Тогда можно записать основной закон динамики вращательного движения так:

М - М_тр = Je,

где М = FR.

Момент инерции диска (сплошной цилиндр) J равен Получаем e = F R – M_тр, откуда .

Решение

1) На грузы действуют силы и и

На блок действуют силы натяжения нити и которые равны соответственно

и по третьему закону Ньютона. Ускорения грузов одинаковы, т.к. нить невесома и нерастяжима.

Силы и создают момент силы и , направленные вдоль оси блока в противоположные стороны: .

2) Составим систему уравнений для грузов и блоков:

3) Силы и моменты сил для каждого тела коллинеарные, следовательно, можно переписать уравнение в скалярной форме:

Решим полученную систему уравнений, учитывая, что

Подставим эти выражения в уравнение (3):

т.е.

Просуммируем первые два уравнения системы:

Тогда

или

откуда

= 2,8 .

Из уравнения (1)

Н.

Из уравнения (2)

Ответ: а = 2,8 ; Т ₁ = 14 Н; Т ₂ = 12,6 Н.

 

№ вар.	, кг	, кг	m, кг	R, м	, м/с^2	Т 1, Н	Т 2, Н
				0,1	?	?	?
	?			0,8	2,3		?
		?	?	0,67	2,5
		?		0,5	3,1	?
	?		?	0,4	2,7
				0,3	?	?	?
	?			0,38	2,2		?
		?	?	0,42	3,2
		?		0,8	1,4	?
				0,2	?	?	?

ИМПУЛЬСА

Задача 9. Снаряд массой 50 кг, летящий со скоростью 400 под углом 60⁰ к горизонту, падает в платформу с песком массой 5 ^. 10³ кг и застревает в песке (рис. 8.). Найти скорость платформы, если в момент попадания снаряд: а) платформа была неподвижна; б) платформа двигалась со скоростью 36 навстречу снаряду; в) платформа двигалась со скоростью 36 в направлении полёта снаряда.

Дано:

= 50 кг

= 400

a = 60⁰

= 5 ^. 10³ кг

1) ₂ = 0

2) = 36 = 10

u -? Рис.8.

Решение

Платформа приобретает скорость u в результате взаимодействия со снарядом. Сила взаимодействия системы тел платформа – снаряд является внутренней силой и не изменяет импульс системы. Внешними силами являются сила тяжести, сила нормальной реакции рельсов и сила трения. Если пренебречь действием силы трения на платформу во время удара, то, поскольку силы тяжести и нормальной реакции рельсов строго вертикальны, можно считать, что проекция вектора импульса системы на горизонтальное направление остаётся постоянной.

Запишем для снаряда и платформы закон сохранения импульса при неупругом ударе в векторном виде:

(1)

Выбрав направление оси X совпадающим с направлением полёта снаряда, спроецируем уравнение (1) на ось X, вдоль которой происходит движение платформы для каждого из трёх случаев:

1) , откуда

2)

- 8 .

3)

.

Ответ: = 2 ; = -8 ; = 12 .

№ вар.	, кг	, м/c	a ^0	, 10^3 кг	2, м/c	u, м/c
	?				+10
		?			-10	-2
				?
					?
		?		5,5	+5,7
				?	-5,7	-1,2
			?	5,7	+6
				4,8	-6	?
	?			4,5	+12
			?	3,9	-12	-2

 

Задача 10. Деревянный шарик падает вертикально вниз с высоты 2 м без начальной скорости. Коэффициент восстановления при ударе шарика о пол считать равным 0,5. Найти: а) высоту, на которую поднимается шарик после удара о пол; б) количество тепла, которое выделиться при этом ударе. Масса шарика 100 г.

 

Дано:

= 2 м

V ₀= 0

k = 0,5

m = 0,1 кг

-?

Q -?

Решение

Падая с высоты , шарик падает на пол со скоростью ₁, а отскакивает вверх со скоростью _2.

По определению коэффициент восстановления k =

По закону сохранения энергии и