Замечание: обычно требуется построение на универсальных элементах: «ИЛИ-НЕ», «И-НЕ».

Преобразуем полученную функцию:

 

x1

X2

&

&

 

3.4 Упрощение (минимизация) логических функций с помощью карт Вейча – Карно.

Пример с 3-х аргументной функцией.

x1	x2	x3	y

 

 

x1	x2	X3	У

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

 

 

3. Карта Вейча – Карно

В таблице приведены все возможные минтермы. Выделим «наши» минтермы:

х3

 

 

х1 х1х2х3 х2х3 х2х3

х2

 

х1 х1 х3 х3

 

 

 

х1

 

 

4. Отмечаем в таблице клетки, соответствующие минтермам полученной функции.

2-ой контур

X2

X3

X1

1-ый контур

 

 

1 1

 

1 1 1

 

 

Объединяем смежные клетки в контуре с числом клеток, равных

2ⁿ = 1;2; 4; 8…..

Замечание: карту Карно можно склеить в кольцо.

5. Для каждого контура записываем слагаемые члены, которые повторяются во всем контуре.

I – контур: х3

II – контур:

 

у = х3 +

 

 

Проверка:

х1 = 0; х2 = 1; х3 = 0

_{__ __}

у = 0 + 0 * 1 =0

 

х1

1 y

 

& 1

х2

 

х3

 

3.4.1 Карты Карно для 4-х аргументной функции.

 

Также по таблице истинности определяется минтермы.

х1

u eG1sUEsFBgAAAAAEAAQA8wAAAPcFAAAAAA== " o:allowincell="f"/> Iый - контур

 

1 1 1 1

х2 1 1

 

1 1 х4

 

III-ий–контур 1 IIой - контур

 

х3

 

I контур: х2 *

II контур: х3 * х4

III контур: (склеенный из 4-х углов)

 

у = х2 + х3 * х4 +

 

Замечание: для 4-х такую карту можно склеивать не только с боков, но и свернуть снизу.

 

х1

 

1 1

х2

 

х4

 

1 1

 

 

 

I контур х3

 

 

3.4.2 Применение карт Карно для 5-ти аргументных функций.

х1

 

 

х2 1

х4

 

х5

 

 

х3

 

х1 * *х4*

 

*х2*х3*

 

Построение логических схем в заданном базисе (т.е. на универсальных электронах).

 

(«И-НЕ», «ИЛИ-НЕ», «2И-НЕ»)

 

 

& 1 & 1

 

&

 

 

Пример:

построить для заданной функции , логические схемы в базисах

«И-НЕ» и «ИЛИ-НЕ».

 

& и-не 1 или-не

 

Применяем два закона: закон двойной инверсии и правило Де-Моргана:

Пример построения схемы в базисе «И-НЕ»:

X1

X2

X3

&

&

&

&

&

 

 

 

Пример построения схемы в базисе «или-не»:

х1

 

х2 1 1 1

 

х3

4.2 Основные комбинационные (логические) схемы цифровых устройств.

 

Дешифратор – имеет “m” – входов и 2^m – выходов. При подаче на входы двоичной комбинации числа на выходе появляетя сигнал, номер которого соответствует входному числу.

 

Рассмотрим пример для 2-х кодового дешифратора.

m = 2

2^m = 4

 

деш у0

х0 у1

у2

у3

х1

 

Дес. число	x1	х0	у0	у1	у2	У3

 

Здесь 4 логических функции. Составим для них выражения.

X0

X1

&

y0

&

&

&

y1

y2

y3

 

Рассмотрим пример для 3-х кодового дешифратора.

m = 3

2^m = 8

 

 

4.3 Электронные коммутаторы двоичных сигналов.

а) простейший коммутатор – это схема “И”

 

х & Если А = 0; y = 0

y A = 1; y = x

Y=A*x

 

 

A

 

 

б) мультиплексор. MUX; MS

С помощью него осуществляется коммутация 2-ичных сигналов с одного из j – входов (Xj) на один выход у. На выход коммутируется вход с номером, соответствующ. двоичному числу Ао – Аj на адресных входах дешифратора.

 

х0

x1 коммут. у

x2

x3 j = 2ⁱ

 

 

 

дешифр.

 

 

 

 

АоА1А2А3(Aj)

 

Рассмотрим пример для i = 2, j = 4

Число	А1	Ао	У
			Х0
			Х1
			Х2
			Х3

 

Для осуществления соответств. коммутаторов необходимо, чтобы управл. сигнал с выхода дешифратора соответствовал «1».

 

Ао А1

1 1

х0 & 1

 

x1 &

 

y

x2

&

 

 

x3 &

 

MUX

 

Ao

A1

 

в) демультиплексор.

 

Он осуществляет подключение 1-ого входа на один из j выходов с порядковым номером, соответствующему двоичному числу на адресных входах В.

 

 

у0

х

у1

 

у2

 

дешифр. M = 2ⁱ,где М - индекс для Y.

 

 

Во В1 Вi

 

Пример:

число	В1	В0	y0	у1	у2	У3
			х
				х
					х
						x

 

 

 

m BST93AAAAAgBAAAPAAAAAAAAAAAAAAAAABcFAABkcnMvZG93bnJldi54bWxQSwUGAAAAAAQABADz AAAAIAYAAAAA " filled="f" stroked="f">

 

 

y0

 

y1

 

 

y2

 

y3

 

 

Схемы сравнения двоичных чисел.

5.1 Схема, исключающая «ИЛИ» (полусумматор).

 

На выходе будет «1» тогда, когда на

входах разные значения.

х1 ПS=1

хg y

 

 

 

х1	х2	У

 

x1

x2

&

&

 

5.2 Схема сравнения.

На выходе будет «1», если на обоих входах одинаковые числа.

 

х1	х2	У

x1

x2

&

&

 

 

5.3 Мажоритарный элемент – он выдает сигнал «у», если на входе будет двоичное число больше заданного М.

Пусть М = 3

 

х2 ≥М

х1 у

х0

 

 

число	x2	х1	x0	y

5.4 Цифровой компаратор – это схема сравнения двух одноразрядных чисел, которые не только определяют их равенства, но и превышение одного над другим.

 

х1>х2 х1=х2 х1<х2

х1	х2	у1	у2	y3

 

у1

х1

у2

х2 у3

 

 

5.5 Коммутатор: последовательное соединение MUX и DMUX позволяет реализовать коммутатор.

 

5.6 Функциональные комбинационные схемы.

 

Двоичный сумматор.

 

1 1 1 1 – p – перенос

0 1 0 1 1 – 1-е слагаемое (х1)

0 0 1 0 1 – 2-е слаганмое (х2)

^{______________________________}

1 0 0 0 0 – сумма S

сумматор полусумматор

 

а) полусумматор

 

х1 ПΣ сумма (S)

 

х2 перенос в старший разряд (Р)

 

 

х1	х2	S	P

 

 

 

1 & х2 1

х1

 

S

 

 

х2 1 & х1

 

&

P

 

 

В сумматоре должен быть дополнительный вход для переноса из младшего разряда.

 

Pi

Σ

X2 S S

 

 

X1 P P_i+1

 

Pi	х1	х2	S	Pi+1

 

 

HS S HS S

 

P P

 

Выше рассмотрен одноразрядный сумматор

в) Схема многоразрядного сумматора.

P0

P0

SΣ

SΣ

PΣ

S1

S2

P2

х10 So

х20

 

 

x11

x21

 

 

x21

x22

 

5.7 Действия над двоичными числами.

Способ вычитания двоичных чисел с помощью суммирования с использованием дополнительного кода.

 

Умножение двоичных чисел.