Предметные области «Биология» и «Экология»

Модель «Динамика популяции» [16]

Математическая модель.

Пусть в момент биомасса некоторой популяции равна . Скорость увеличения биомассы пропорциональна самой биомассе. Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом размножения. Однако с ростом биомассы условия существования организмов ухудшаются пропорционально квадрату биомассы. Это явление называется самоотравлением, а соответствующий коэффициент пропорциональности – коэффициентом самоотравления. Изменение биомассы определяется формулой: или .

Модель «Внутривидовая конкуренция» [24]

Математическая модель.

Обозначим за N численность популяции. Скорость роста можно обозначить как, тогда средняя скорость увеличения численности в расчёте на одну особь определяется величиной .

Без учёта внутривидовой конкуренции получаем или , где – мгновенная удельная скорость роста численности, то есть приращение численности за единицу времени в пересчёте на одну особь.

Теперь попробуем учесть внутривидовую конкуренцию. Когда численность популяции близка к нулю, скорость роста определяется , так как конкуренция ещё не оказывает влияния на прирост популяции. Когда же при возрастании достигается значение (предельная численность популяции), скорость роста популяции снижается до нуля. Учитывая всё это, получаем

Это уравнение известно под названием «логистического», где – скорость роста популяции, – приращение численности за единицу времени в пересчете на одну особь, – предельная плотность насыщения, – начальная численность популяции.

Модель «Хищник-жертва» с логистической поправкой [24]

Математическая модель.

Модель конкурирующих видов – это модель Холлинга-Тэннера. Скорость роста популяции жертв в этой модели равна сумме трех величин: скорости размножения в отсутствие хищников ; влиянию межвидовой конкуренции за пищу при ограниченных ресурсах (для случая конкурирующих производителей – это влияние ограниченных сырьевых ресурсов) ; влиянию хищников, в предположении, что хищник перестает убивать, когда насыщается .

Скорость роста популяции хищников строится так же, как в модели Вольтера-Лотка, в предположении, что жертвы встречаются редко. Если для поддержания жизни одного хищника нужно жертв, то популяция из жертв сможет обеспечить пищей хищников. Модель роста популяции хищников, в которой их число не может превысить эту критическую величину, имеет вид . Таким образом, имеем модель Холлинга-Тэннера:

где .

Модель «Размножение бактерий» [16]

Математическая модель.

Пусть – количество всех бактерий в момент времени , тогда – скорость их размножения.

Дифференциальное уравнение, описывающее закон размножения бактерий имеет следующий вид: , где – заданная постоянная, зависящая от вида бактерий и внешних условий.

Модель «Клеточная популяция» [16]

Математическая модель

Популяция разбита на две группы клеток: молодые и старые. Будем считать, что клетки первой группы интенсивно растут, но не достигли физиологической зрелости и неспособны делиться. Члены второй группы способны к делению. Требуется определить развитие численности старых и молодых клеток при изменении их числа особей, скорости протока.

Будем считать, что клетки первой группы интенсивно растут, но не достигли физиологической зрелости и неспособны делиться. Члены второй группы способны к делению. Процесс деления может быть задержан при помощи различных ингибиторов. Уравнения для численностей молодых () и старых () клеток имеют вид:

,

где – численность «молодых» клеток, – численность «старых» клеток, – среднее время созревания «молодой» клетки, – среднее время пребывания «старой» клетки в детородном периоде, – скорость протока через хемостат.

Модель «Загрязнение воды» [25]

Математическая модель.

Биохимическая потребность кислорода является мерой концентрации органических загрязнений воды и определяется количеством кислорода на единицу объема воды, необходимого для разложения загрязнений (мг/л воды). Обозначим её . Скорость разложения отходов, загрязняющих воду, определяется формулой:

, где – постоянная отбора кислорода.

При отсутствии отходов концентрация кислорода в воде равна равновесной концентрации, являющейся функцией температуры. При наличии отходов концентрация кислорода понижается на величину . Величина может увеличиваться вследствие окисления отходов и уменьшается благодаря поглощению кислорода поверхностью воды. Таким образом, учитывая оба эти процесса имеем:

Модель «Распространение эпидемий» [32]

Математическая модель.

Пусть заболевшие от общества не изолируются. В начальный момент времени в группу здоровых людей попадает один больной. Вводя – количество заболевших людей, получим .

Количество здоровых людей определяется формулой .

Введем – коэффициент заболеваемости. В него входят вероятность встречи с больным, вероятность заражения и вероятность заболеть. Тогда за время от до заболеют людей: , где - количество встреч больных со здоровыми.

Таким образом, .

 

Предметная область «Химия»

 

Модель «Химическая реакция» [16]

Математическая модель.

Если – количество вещества , в которое переходит каждое из двух веществ и , то при постоянстве температуры и соблюдении некоторых других условий полагают, что скорость реакции пропорциональна:

1) в случае перехода вещества в вещество – оставшемуся количества вещества , что проводит к дифференциальному уравнению

,

где – начальное количество вещества , а – коэффициент пропорциональности, ;

2) в случае перехода двух веществ и в вещество – произведению реагирующих масс, что приводит к дифференциальному уравнению

,

где и – начальные количества веществ и , а – коэффициент пропорциональности, .

Модель «Закон растворения» [16]

Математическая модель.

В основе теории растворения лежит гипотеза о том, что если температура насыщенного какой – либо солью растворителя получает приращение , то растворитель приобретает способность растворить еще некоторое количество соли , пропорциональное и тому количеству соли, которое может раствориться при температуре .

Дифференциальное уравнение, описывающее закон растворения имеет следующий вид:

,

где – первоначальная температура, – приращение температуры, – коэффициент пропорциональности, – первоначальное количество соли.

Модель «Очищение газа» [16]

Математическая модель.

Для очистки газа от некоторой газообразной примеси его пропускает через скруббер (сосуд, содержащий тот или иной поглотитель). Количество газообразной примеси, поглощаемое тонким слоем поглотителя при установившемся режиме аппарата, пропорционально концентрации примеси, а также толщине и площади поперечного сечения слоя. Скруббер имеет форму конуса с радиусом основания и высотой . Газ поступает через вершину конуса. Зависимость концентрации газообразной примеси в скруббере определяется как функция расстояния слоя от вершины конуса. Учитывается, что концентрация примеси в поступающем газе равна , а в выходящем .

Обозначим концентрацию примеси через , а расстояние слоя от вершины конуса через .

Таким образом,

,

где – радиус сечения тонкого слоя конуса, который связан с размерами конуса соотношением , так что

.