Имитационное моделирование объекта управления

Имитационное моделирование объекта управления

 

С помощью пакета «MATLAB» построим переходную характеристику рассматриваемого объекта управления. Как было рассчитано выше, передаточная функция объекта управления имеет следующий вид:

W₀(p)= ;

Для получения переходной характеристики объекта управления введем следующую команду «MATLAB»:

 

>> step(tf([1],[0.01, 0.06, 1]));

 

Получим следующее изображение переходной характеристики:

Рис 1.1. Переходная характеристика объекта управления с квантованием по времени

 

Согласно данному изображению переходной характеристики выберем интервал квантования Т₀ = 0,1 c.

Имитационное моделирование возмущающего воздействия и построение эмпирической оценки его корреляционной функции

 

Произведем моделирования возмущающего воздействия, действующего на заданный объект управления. Данное воздействие представляется как выходной сигнал формирующего фильтра, на вход которого подается «белый шум»:

 

Рис 3.1. Формирующий фильтр с «белым шумом» на входе

 

В нашем случае представим возмущающее воздействие двумя параллельно соединенными формирующими фильтрами:

Рис 3.2. Параллельное соединение двух формирующих фильтров

Корреляционная функция возмущающего воздействия, показывающая, насколько проявляется зависимость процесса от предыдущих значений, имеет следующий вид:

R_n(τ)= ;

Подставим в данную корреляционную функцию исходные данные:

R_n(τ)= = 2 + 4 = R_n1(τ)+ R_n2(τ)

Построим для наглядности графики корреляционных функций в системе «MATLAB»:

>> syms t;

>> ezplot(2*exp(-5*abs(t)))

>> ezplot(4*exp(-1*abs(t)))

>> ezplot(4*exp(-1*abs(t))+ 2*exp(-5*abs(t)))

Рис 3.3. Корреляционные функции отдельных составляющих блоков формирующих фильтров

Рис 3.4. Корреляционная функция формирующего фильтра

По известной корреляционной функции R_nn(τ) найдем спектральную плотность возмущающего воздействия S_nn(ω), характеризующую частотный состав процесса и определяющую распределение среднего значения мощности по спектру:

;

Имея выражение для спектральной плотности, можем определить теперь общий вид передаточной функции формирующего фильтра методом расщепления спектральной плотности:

.

Согласно определению белого шума его спектральная плотность является постоянной величиной. Пусть S_v(ω) = const = 1, тогда:

;

; ; ;

Рассчитаем тогда передаточные функции для каждого из формирующих фильтров и общую передаточную функцию формирующего фильтра:

= 0,9; = 0,2; ;

= 2,8; = 1; ;

W_фф(p) = + ;

Учитывая выбранный ранее шаг квантования (Т₀ = 0,1 с), определим теперь дискретную передаточную функцию формирующего фильтра, используя следующую замену:

;

;

= ; = ;

G_фф(z) = + ;

Построим в «Simulink» дискретную модель формирующего фильтра и снимем временные характеристики белого и окрашенного шума:

Рис 3.5. Модель формирующего фильтра

Рис 3.6. Белый шум

Рис 3.7. Окрашенный шум
3. Построение дискретной модели объекта управления

Построение дискретной модели переходом от дифференциального уравнения к разностному

Передаточная функция рассматриваемого объекта управления имеет следующий вид:

W₀(p)= = => (0,01p²+0,06p+1)·Y(p)=U(p);

Из данного выражения получим дифференциальное уравнение, описывающее объект управления:

0,01 +0,06 ­­+y(t) = u(t);

Перейдем теперь от дифференциального уравнения к разностному, используя левую разность и учитывая размер такта Т₀ = 0,1 c:

Δ²y(k) = y(k) - 2y(k-1) + y(k-2), Δy(k) =y(k) – y(k-1) =>

+ + y(k) = u(k);

+ + y(k) = u(k);

y(k) – 2y(k-1) + y(k-2) + 0,6y(k) – 0,6y(k-1)+y(k)=u(k) =>

2,6y(k) - 2,6y(k-1) + y(k-2) = u(k) => y(k) = =>

y(k)=y(k-1) - 0,4y(k-2) + 0,4u(k);

В полученном выражении y(k) – выходной сигнал, u(k) – входной сигнал (единичное ступенчатое воздействие), k – отсчеты времени. C помощью данного выражения рассчитаем теперь значения на кривой разгона в моменты квантования, учитывая что график на рисунке 1.1 выходит из начала координат:

y(0)=0;

y(1)=y(Т₀)=y(0) - 0,4y(-1) + 0,4u(1)= 0 – 0 + 0,4 = 0,4;

y(2)=y(2Т₀)=y(1) - 0,4y(0) + 0,4u(2)= 0,4 – 0 + 0,4 = 0,8;

y(3)=y(3Т₀)=y(2) - 0,4y(1) + 0,4u(3)= 0,8 – 0,16 + 0,4 = 1,04;

y(4)=y(4Т₀)=y(3) - 0,4y(2) + 0,4u(4)= 1,04 – 0,32 + 0,4 = 1,12;

y(5)=y(5Т₀)=y(4) - 0,4y(3) + 0,4u(5)= 1,12 – 0,42 + 0,4 = 1,1;

y(6)=y(6Т₀)=y(5) - 0,4y(4) + 0,4u(6)= 1,1 – 0,45 + 0,4 = 1,05;

y(7)=y(7Т₀)=y(6) - 0,4y(5) + 0,4u(7)= 1,05 – 0,44 + 0,4 = 1,01;

y(8)=y(8Т₀)=y(7) - 0,4y(6) + 0,4u(8)= 1,01 – 0,42 + 0,4 = 0,99;

y(9)=y(9Т₀)=y(8) - 0,4y(7) + 0,4u(9)= 0,99 – 0,4 + 0,4 = 0,99;

y(10)=y(10Т₀)=y(9) - 0,4y(8) + 0,4u(10)= 0,99 – 0,4 + 0,4 = 0,99;

Чтобы получить передаточную функцию, применим к выражению для y(k) z-преобразование:

Z{y(k)} = Z{y(k-1) - 0,4y(k-2) + 0,4u(k)};

Y(z) = Y(z)·z^-1 – 0,4·Y(z)·z^-2 +0,4·U(z) =>

Y(z)·(1 – z^-1 + 0,4·z^-2) = 0,4·U(z) =>

G₀(z)= = ;

Рассчитаем статический коэффициент передачи объекта, подставив вместо z единицу:

K₀ =G₀(1)= =1;

 

Настройка системы с цировым ПИД-регулятором

Сравнение полученных цифровых систем с разными регуляторами

Рекомендации по выбору регулятора

 

Согласно результатам проведенных исследований по рассматриваемым критериям для данной системы лучше использовать цифровой ПИД-регулятор, обеспечивающий лучшие характеристики по сравнению с цифровым регулятором с минимальной обобщенной дисперсией, который показал недопустимые результаты.

Список литературы

 

1. Чостковский Б.К. Методическое пособие. Имитационное моделирование оптимального управления стохастическим объектом.- Самара: СамГТУ.

 

 

Имитационное моделирование объекта управления

 

С помощью пакета «MATLAB» построим переходную характеристику рассматриваемого объекта управления. Как было рассчитано выше, передаточная функция объекта управления имеет следующий вид:

W₀(p)= ;

Для получения переходной характеристики объекта управления введем следующую команду «MATLAB»:

 

>> step(tf([1],[0.01, 0.06, 1]));

 

Получим следующее изображение переходной характеристики:

Рис 1.1. Переходная характеристика объекта управления с квантованием по времени

 

Согласно данному изображению переходной характеристики выберем интервал квантования Т₀ = 0,1 c.