III. 1. Регулярная поверхность.

III.1. РЕГУЛЯРНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ.

На евклидовой плоскости выбрана некоторая область , гомеоморфная прямоугольнику. Можно считать, что прямоугольник. Он состоит из точек , , т.е. , и , область может совпадать с . Плоскость есть пара , где евклидова метрика на . Задано отображение

плоской области в евклидово пространство , в котором точке из соответствует точка из , в . Отображение является гомеоморфным - взаимно однозначным и взаимно непрерывным. В выбран ортонормированный репер . При изменении точки в области изменяется точка в пространстве . Координаты , , точки являются функциями координат точки :

, , , .

Эти функции непрерывны, ввиду того, что отображение гомеоморфно. Таким образом, имеется векторная функция двух параметров

, .

Отображение и образ области в отображении называется поверхностью. Поверхность есть множество точек

.

Задается поверхность векторной функцией

Поверхность составляют концы векторов , поэтому поверхность называется годографом функции .

Наложим на функцию условия:

(1) есть функция класса , т.е. существуют непрерывные частные производные этой функции до третьего порядка включительно;

(2) Векторы , неколлинеарны в точках области . Неколлинеарность, векторов означает, в частности, что они ненулевые, а также означает, что ранг следующей матрицы равен 2:

.

Поверхность, заданная векторной функцией с указанными условиями, называется регулярной класса . Область задания поверхности можно считать окрестностью всякой ее внутренней точки , , . Всякая точка регулярной поверхности называется обыкновенной. Мы изучаем поверхности в окрестности обыкновенной точки.

III.2. ЛИНИИ НА ПОВЕРХНОСТИ.

Фиксируя на поверхности один из параметров, получаем на поверхности регулярную кривую, см. п. II.1. Имеем следующие линии:

- - линии поверхности, это линии , ;

- - линии , .

Всякие две -линии и всякие две -линии поверхности не пересекаются. Чрез каждую точку поверхности проходит единственная -линия и единственная -линия. Таким образом, на поверхности имеется криволинейная координатная сеть. С каждой точкой поверхности связан репер ; производные , вычислены в точке ,

.

Если в области заданы функции , , то на поверхности определяется линия

,

Это произвольная линия на поверхности.

III.3. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ ПОВЕРХНОСТИ.

Пусть точка регулярной поверхности . В этой точке имеем неколлинеарные векторы , . Для любой линии выполняется

,

т.е. вектор касательной всякой линии поверхности , проходящей через точку , является линейной комбинацией векторов , - векторов касательных -линии и -линии; вектор принадлежит оболочке . Касательная прямая всякой кривой поверхности лежит в плоскости . Касательные всех линий поверхности , проходящих через точку , образуют плоскость. Получена следующая

III.3.1. ТЕОРЕМА. Регулярная поверхность в каждой своей точке обладает касательной плоскостью < . #

Пусть и производные , вычислены в точке . Тогда уравнение касательной плоскости таково

.

Прямая называется нормалью поверхности в точке . Ее уравнения:

.

III.4. ПЕРВАЯ ОСНОВНАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ.

В произвольной точке поверхности зададим на­правление, выбрав , . Отношение дифференциалов

определяет направление на поверхности, имеем

.

Производная от по направлению имеет вид

.

Малое смещение по кривой на поверхности вычисляется на основании равенств

.

Отсюда получаем, вычисляя скалярный квадрат ,

. (III.4.1)
Введем обозначения:

, , . (III.4.2)
Значения этих скалярных произведений зависят от выбора точки поверхности. Выражение

. (III.4.3)
называется первой основной квадратичной формой поверхности .

III.1. РЕГУЛЯРНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ.

На евклидовой плоскости выбрана некоторая область , гомеоморфная прямоугольнику. Можно считать, что прямоугольник. Он состоит из точек , , т.е. , и , область может совпадать с . Плоскость есть пара , где евклидова метрика на . Задано отображение

плоской области в евклидово пространство , в котором точке из соответствует точка из , в . Отображение является гомеоморфным - взаимно однозначным и взаимно непрерывным. В выбран ортонормированный репер . При изменении точки в области изменяется точка в пространстве . Координаты , , точки являются функциями координат точки :

, , , .

Эти функции непрерывны, ввиду того, что отображение гомеоморфно. Таким образом, имеется векторная функция двух параметров

, .

Отображение и образ области в отображении называется поверхностью. Поверхность есть множество точек

.

Задается поверхность векторной функцией

Поверхность составляют концы векторов , поэтому поверхность называется годографом функции .

Наложим на функцию условия:

(1) есть функция класса , т.е. существуют непрерывные частные производные этой функции до третьего порядка включительно;

(2) Векторы , неколлинеарны в точках области . Неколлинеарность, векторов означает, в частности, что они ненулевые, а также означает, что ранг следующей матрицы равен 2:

.

Поверхность, заданная векторной функцией с указанными условиями, называется регулярной класса . Область задания поверхности можно считать окрестностью всякой ее внутренней точки , , . Всякая точка регулярной поверхности называется обыкновенной. Мы изучаем поверхности в окрестности обыкновенной точки.