Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Проекция вектора на ось и её свойства.
Пусть дан произвольный вектор . Пусть - произвольная ось. Обозначим через основания перпендикуляров, опущенных на ось из точек соответственно. Проекцией вектора называется величина . Проекцию вектора на ось будем обозначать символом . Построение проекции вектора на ось иллюстрируется на чертеже (1). Рис. Углом наклона вектора к оси называется угол между двумя лучами, выходящими из произвольной точки , один из которых имеет направление, совпадающее с направлением вектора , а другой – направление, совпадающее с направлением оси . Теорема 4.1. Проекция вектора на ось равна произведению длины вектора на косинус угла наклона вектора к оси . Доказательство. Пусть – ось, проходящая через начало вектора и имеющая то же направление, что и ось . Пусть – основание перпендикуляра, опущенного из точки на ось . - основания перпендикуляров, опущенных из точек соответственно на ось . Тогда , где - величина направленного отрезка . (Рис2) Возможны два случая. 1. Направленный отрезок имеет направление, совпадающее с направлением оси . (рис.2) 2. Направленный отрезок имеет направление противоположное к направлению оси . (рис.3). Заметим, что в первом случае (рис 2) – угол наклона вектора к оси будет острым, во втором случае (рис 3) тупым. Рассмотрим случай 1. Для рассматриваемого случая имеем . Четырехугольник является прямоугольником. Поэтому . Из прямоугольного треугольника имеем Так как, по определению , из равенств (2), (3), (4) находим Тем самым, для случая 1 теорема доказана. Случай 2 рассматривается аналогично. Рассмотрим декартову прямоугольную систему координат с началом в точке и тройку векторов единичной длины, приложенных к точке , имеющих направления, совпадающие с направлениями этих осей соответственно. Теорема 4.2. Для любого вектора существует единственная тройка чисел такая, что при этом , , . Доказательство. Приложим вектор в точке и проведём через его конец плоскости, параллельные координатным плоскостям . Точки пересечения этих плоскостей с осями обозначим соответственно . Очевидно, что . Т.к. , мы находим . Из определения величины и из того, что следует, что . Так как проекция вектора на ось по определению есть величина , то из последнего равенства получим . Аналогично доказывается справедливость следующих равенств: = = . Учитывая эти равенства в равенстве (6), найдем
= + + . (7)
Введем обозначения , запишем равенство (7) в виде Единственность легко получить с помощью геометрических рассуждений. Числа , в равенстве (5) называются координатами вектора Тот факт, что являются координатами вектора , обозначается следующим образом: . Теорема 4.3. Пусть в прямоугольной системе координат даны произвольные две точки , . Тогда координаты вектора соответственно равны
Доказательство. Обозначим через и основания перпендикуляров, опущенных из точек на ось . Тогда по определению , , где – величины направленных отрезков и
Согласно теореме 1.1 гл.3, величина направленного отрезка равна . С другой стороны величина является проекцией вектора на ось . Следовательно является координатой вектора . Аналогично доказывается равенство и . Замечание. Если точки и расположены в плоскости , то для координат вектора справедливы равенства и . Теорема 4.4. При сложении двух векторов и их координаты складываются. При умножении вектора на любое число 𝜆 все его координаты умножаются на это число. Доказательство. Пусть , . Складывая эти равенства и пользуясь свойствами линейных операций, получим . Из последних равенств вытекает утверждение теоремы. Теорема 4.5. При сложении двух векторов и их проекции на произвольную ось складываются. А при умножении вектора на любое число 𝜆 его проекция на произвольную ось умножается на число 𝜆. Доказательство. Пусть даны произвольные векторы , и ось . Введём декартову прямоугольную систему координат так, чтобы ось совпадала с осью . Пусть в введённой системе координат , . Тогда в силу теоремы 4.4 и . Следовательно и Теорема доказана.
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-07-18; просмотров: 80; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.222.138.230 (0.014 с.) |