Проекция вектора на ось и её свойства.

Пусть дан произвольный вектор . Пусть  - произвольная ось. Обозначим через  основания перпендикуляров, опущенных на ось  из точек  соответственно.

Проекцией вектора называется величина .

Проекцию вектора  на ось  будем обозначать символом . Построение проекции вектора  на ось  иллюстрируется на чертеже (1).

Рис.

Углом наклона вектора  к оси  называется угол между двумя лучами, выходящими из произвольной точки , один из которых имеет направление, совпадающее с направлением вектора , а другой – направление, совпадающее с направлением оси .

Теорема 4.1. Проекция вектора  на ось  равна произведению длины вектора  на косинус угла наклона вектора  к оси .

Доказательство. Пусть  – ось, проходящая через начало  вектора и имеющая то же направление, что и ось . Пусть  – основание перпендикуляра, опущенного из точки  на ось .  - основания перпендикуляров, опущенных из точек  соответственно на ось . Тогда , где  - величина направленного отрезка .

(Рис2)

Возможны два случая. 1. Направленный отрезок  имеет направление, совпадающее с направлением оси . (рис.2)

2. Направленный отрезок  имеет направление противоположное к направлению оси . (рис.3).

Заметим, что в первом случае (рис 2)  – угол наклона вектора  к оси  будет острым, во втором случае (рис 3) тупым.

Рассмотрим случай 1.

Для рассматриваемого случая имеем . Четырехугольник   является прямоугольником. Поэтому .

Из прямоугольного треугольника  имеем

Так как, по определению , из равенств (2), (3), (4) находим

Тем самым, для случая 1 теорема доказана. Случай 2 рассматривается аналогично.

Рассмотрим декартову прямоугольную систему координат  с началом в точке  и тройку векторов  единичной длины, приложенных к точке , имеющих направления, совпадающие с направлениями этих осей соответственно.

Теорема 4.2. Для любого вектора  существует единственная тройка чисел  такая, что

при этом , , .

Доказательство. Приложим вектор в точке  и проведём через его конец  плоскости, параллельные координатным плоскостям . Точки пересечения этих плоскостей с осями  обозначим соответственно .

Очевидно, что . Т.к. , мы находим .

Из определения величины  и из того, что  следует, что . Так как проекция вектора на ось  по определению есть величина , то из последнего равенства получим .  Аналогично доказывается справедливость следующих равенств: = = . Учитывая эти равенства в равенстве (6), найдем

                                      = + + . (7)

 

Введем обозначения , запишем равенство (7) в виде              

Единственность  легко получить с помощью геометрических рассуждений.

Числа ,  в равенстве (5) называются координатами вектора  Тот факт, что  являются координатами вектора , обозначается следующим образом: .

Теорема 4.3. Пусть в прямоугольной системе координат  даны произвольные две точки , . Тогда координаты  вектора  соответственно равны

 

Доказательство. Обозначим через  и  основания перпендикуляров, опущенных из точек  на ось . Тогда по определению , , где  – величины направленных отрезков  и

Согласно теореме 1.1 гл.3, величина направленного отрезка равна . С другой стороны величина  является проекцией вектора  на ось . Следовательно  является координатой  вектора . Аналогично доказывается равенство  и .

Замечание. Если точки  и  расположены в плоскости , то для координат вектора  справедливы равенства  и .

Теорема 4.4. При сложении двух векторов  и их координаты складываются. При умножении вектора  на любое число 𝜆 все его координаты умножаются на это число.

Доказательство. Пусть , . Складывая эти равенства и пользуясь свойствами линейных операций, получим

.

Из последних равенств вытекает утверждение теоремы.

Теорема 4.5. При сложении двух векторов  и  их проекции на произвольную ось складываются. А при умножении вектора  на любое число 𝜆 его проекция на произвольную ось умножается на число 𝜆.

Доказательство. Пусть даны произвольные векторы ,   и ось . Введём декартову прямоугольную систему координат так, чтобы ось  совпадала с осью .

Пусть в введённой системе координат , . Тогда в силу теоремы 4.4

   и .

Следовательно и Теорема доказана.