Производная показательной функции.

Так как функция , определённая на всей числовой прямой , является обратной для функции , определённой на полупрямой  и для функции  в окрестности любой точки  полупрямой  выполнены все условия теоремы 2.2 §2 гл. 6, то  в силу этой теоремы функция  дифференцируема в любой точке  и для её производной в данной точке справедлива формула

Из последнего равенства и соотношения , получим

для любой точки . В частности, при  получим .

Производная функции . Так как функция  определена на интервале , является обратной для функции , определённой на интервале , и для функции  в окрестности любой точки  интервала  выполнены все условия теоремы 2.2 §2 гл. 6, то по этой теореме функция  имеет производную в любой точке  и эта производная в точке  равна

Корень  мы взяли со знаком «+», так как на интервале . Учитывая в равенстве (9), что , получим

для всех  из интервала .

8. Производная функции . Функция  определена на интервале  и является обратной для функции , определённой на интервале . Для функции  выполнены все условия теоремы 2.2 §2 гл. 6. Следовательно функция  имеет в любой точке  интервала  производную и эта производная находится по формуле

Перед корнем  мы взяли знак «+», так как на интервале . Учитывая, что  из равенства (11) получим

для всех  из интервала .

9. Производная функции . Функция  определена на бесконечной прямой

  и является обратной для функции , определённой на интервале . Согласно теореме 2.2 о производной обратной функции в каждой точке  бесконечной прямой  существует производная функции  и эта производная вычисляется по формуле

Учитывая, что , из равенства (13) найдём

для любой .

10. Производная функции . Функция  определена на бесконечной прямой  и является обратной для функции , определённой на интервале . Из теоремы 2.2 о производной обратной функции следует, что функция  имеет производную в каждой точке бесконечной прямой , и эта производная находится по формуле

Учитывая в последнем равенстве, что , получим

для любого .

11. Производная степенной функции. Рассмотрим функцию , где  - любое вещественное число. Эта функция определена для любого значения аргумента . Заметим, что функцию  можно представить как суперпозицию логарифмической и показательной функций

. Тогда . Учитывая, что , из последнего равенства найдём

для любого .

Таблица производных простейших элементарных функций.

Запишем теперь все вычисленные производные простейших элементарных функций в виде таблицы.

1.

2.

В частности

3.  

В частности .

4. .

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

Из приведённой таблицы производных и правил дифференцирования суммы, разности, произведения, частного и сложной функции вытекает следующий важный вывод: производная любой элементарной функции представляет собой также элементарную функцию, т.е. операция дифференцирования не выводит нас из класса элементарных функций.

Таблица дифференциалов простейших элементарных функций.

В силу определения дифференциала функции, пользуясь таблицей производных простейших элементарных функций, получим таблицу дифференциалов простейших элементарных функций.

1.

2.

В частности

3.  

В частности .

4. .

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.