Арифметические операции над непрерывными функциями.

Теорема 5.1. Пусть функции  и  непрерывны в точке . Тогда функции

  и , также непрерывны в точке .

Доказательство. Так как функции  и  непрерывны в точке , то ,

. Тогда , что доказывает непрерывность функции в точке .

, т.е. функция  непрерывна в точке .

, т.е. функция  непрерывна в точке .

Примеры непрерывных функций.

Непрерывность рациональных функций.

Непосредственно из определения, следует непрерывность постоянной функции  Действительно, в каждой точке  числовой прямой выполняются равенства . Следовательно, постоянная функция непрерывна в каждой точке вещественной прямой.

Функция  также является непрерывной в каждой точке числовой прямой. Действительно , что означает непрерывность функции  в любой точке . Из непрерывности функции  и теоремы 5.1 следует непрерывность, в любой точке числовой прямой, функций , , где . Из сказанного выше следует непрерывность функции

в любой точке , где  – любые числа, а . Функция вида (1) называется алгебраическим многочленом или полиномом.

Дробно-рациональная функция, т.е. функция вида , где  и  - алгебраические многочлены, непрерывна во всех точках , в которых функция  не обращается в нуль, как частное непрерывных функций.

Например, функция  непрерывна во всех точках, за исключением тех точек, где , т.е. .

Непрерывность тригонометрических функций. . Покажем, что функция  непрерывна в каждой точке . Рассмотрим разность

тогда

Докажем, что . Действительно, обозначим . Очевидно, что  при . Тогда . . Т.е. функция  - бесконечно малая функция при . Тогда т.к. функция  – ограничена , то из теоремы 4.4. следует, что правая часть равенства (2) равна 0. А это означает, что , т.е. . Непрерывность функции  доказана. Непрерывность функции  доказывается аналогично.

 Из непрерывности функций  ,  и теореме 5.1 следует непрерывность функций  и  во всех точках, где , т.е. во всех точках, кроме  и функций  и  во всех точках, кроме  

  Непрерывность функции . Эта функция определена и непрерывна во всех точках числовой прямой. Действительно, в точках интервала  она непрерывна, так как при . В точках интервала  функция  также непрерывна, так как при , эта функция непрерывна как произведение двух непрерывных функций  и . Установим теперь непрерывность функции  в точке . Для этого вычислим односторонние пределы в точке .

Итак, пределы функции  в точке  слева и справа совпадают и равны значению функции в этой точке, тогда по теореме 4.1 существует  и этот предел равен односторонним пределам, т.е. нулю. Следовательно для функции  существует предел в точке , и этот предел равен значению функции в точке , что означает непрерывность данной функции в точке .

Функция  называется непрерывной на интервале , если она непрерывна в каждой точке  этого интервала.

Замечание. В определении 5.2 интервал  может быть как конечным, так и бесконечным интервалом, т.е. может иметь вид , , .

Функция  называется непрерывной на сегменте , если она непрерывна в каждой точке  и непрерывна в точке  справа и в точке  слева, т.е.