Непрерывность простейших элементарных функций.

Простейшими элементарными функциями обычно называют следующие функции:  (где  - постоянное вещественное число),  (где ),

.

Представление об этих функциях и об их графиках читатель имеет из курса элементарной математики.

Наша основная задача – выяснение вопроса об непрерывности всех простейших элементарных функций во всех точках областей их определения.

Строгое математическое выяснение этих вопросов не является простым и выходит за рамки настоящего курса. Поэтому мы вынуждены будем приводить некоторые утверждения без доказательства.

1. Показательная функция  непрерывна в каждой  точке  бесконечной прямой . При этом функция  возрастает при  и убывает при . Областью изменения функции  является множество . Графики функции  при  и при  изображены на рис.1 и 2.

2. Логарифмическая функция. Так как на произвольном сегменте  бесконечной прямой  функция  непрерывна и возрастает при  (убывает при ), то в силу теоремы 5.8, для этой функции существует на сегменте  при  (  при

) обратная функция , которая непрерывна и возрастает на сегменте  при  (непрерывна и убывает на сегменте при ). Эта функция называется логарифмической и обозначается символом .

Поскольку левый конец  мы можем неограниченно приближать к , а правый конец  неограниченно приближать к , то в силу равенств , справедливых при , функция  будет определена и непрерывна на всей открытой полупрямой  и будет на этой полупрямой возрастать при  (убывать при ). Меняя для этой функции обозначение аргумента  на , а обозначении функции на , мы получим логарифмическую функцию , которая определена и непрерывна на открытой полупрямой  и на этой полупрямой возрастает при  (убывает при )

Графики логарифмической функции для  и  изображены на рис. 3 и 4.

3. Обратные тригонометрические функции. Так как функция  непрерывна и возрастает на сегменте  и имеет множеством своих значений сегмент , то в силу теоремы 4.7 на сегменте  определена обратная функция , которая непрерывна и возрастает на этом сегменте. Меняя для этой функции обозначение аргумента  на , а обозначении функции на , мы придём к функции , непрерывной и возрастающей на сегменте .

Аналогично устанавливается, что функция , обратная к непрерывной и убывающей на сегменте  функции , является непрерывной и убывающей на сегменте .

 Функция , обратная к непрерывной и возрастающей на интервале  функции , является непрерывной и возрастающей на бесконечной прямой ; функция , обратная и непрерывная к непрерывной и убывающей на интервале  функции , является непрерывной и убывающей на бесконечной прямой .

Графики обратных тригонометрических функций изображены на рис. 5 – 8.

4. Степенная функция. Пусть  - произвольное фиксированное вещественное число,  - некоторое вещественное число, большее единицы.

Пользуясь основным логарифмическим тожеством , представим степенную функцию  в виде:

т.е. как сложную функцию вида , где .

Так как , то функция  возрастает на полупрямой  и потому функция

 возрастает при  и убывает при  на этой полупрямой. Отсюда и из того, что функция  возрастает на всей прямой  вытекает, что степенная функция  возрастает при  и убывает при  на полупрямой .

Далее, из того, что функция  непрерывна в каждой точке  полупрямой , а функция  непрерывна в каждой точке  бесконечной прямой  и из теоремы 5.7 о непрерывности сложной функции вытекает, что степенная функция  непрерывна в каждой точке  полупрямой .

На рис. 9 изображены графики функции  для различных значений .