Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Монотонные последовательности.
Последовательность называется возрастающей, если для всех ; неубывающей, если для всех ; убывающей, если для всех ; невозрастающей, если для всех . Все такие последовательности объединяются общим названием: монотонные последовательности. Возрастающие и убывающие последовательности называются также строго монотонными. Теорема 3.10. Монотонная ограниченная последовательность сходится. Рассмотрим случай неубывающей последовательности. Пусть для всех . Т.к. последовательность ограничена, то существует такое число , что для всех номеров справедливо неравенство . Пусть - множество, состоящее из элементов последовательности , т.е. . Тогда - непустое, ограниченное сверху множество. Поэтому по теореме 2.1 для множества существует точная верхняя грань , т.е. . Докажем, что является пределом последовательности . Т.к. - точная верхняя грань множества , то для любого существует такой элемент , что . С другой стороны, по определению точной верхней грани для всех . Из неравенств (22), (23) и из условия неубывания последовательности найдём для всех . Из последних неравенств имеем для всех или для всех . Т.е. является пределом последовательности . Отметим, что аналогично рассматривается случай невозрастающей ограниченной последовательности с той лишь разницей, что вместо надо рассмотреть . Теорема доказана. 4. Число . Рассмотрим последовательность с общим членом . Докажем, что последовательность является возрастающей и ограниченной сверху. Тогда из теоремы 3.10 будет следовать существование предела этой последовательности. Воспользуемся формулой бинома Ньютона. , где – число сочетаний из элементов по элементов и , где . Тогда Подставляя в это равенство в место индекса , найдем Так как для любого натурального , то каждое слагаемое в выражении для , начиная со второго слагаемого, больше, чем соответствующее слагаемое в выражении для , кроме этого содержит на одно положительное слагаемое больше, чем , т.е. . Тем самым, монотонное возрастание последовательности доказано. Докажем ограниченность последовательности . Для доказательства ограниченности сверху этой последовательности заметим, что для любого справедливо неравенство . Поэтому
Т.е. для всех . Т.е. последовательность ограничена сверху. Итак, последовательность является монотонно возрастающей ограниченной сверху последовательностью. По теореме 3.10 она сходится к некоторому пределу, который мы обозначим через Итак, (24)
Отметим, что число является иррациональным (без доказательства) числом, имеющим с точностью до пятнадцати знаков после запятой вид Функция и её предел. 1. Понятие функции. Пусть и - непустые числовые множества. Если каждому элементу по некоторому закону ставится в соответствие единственный элемент , то говорят, что на множестве задана функция , при этом переменная называется аргументом или независимой переменной, множество называется областью определения функции. Совокупность всех значений называется областью изменения функции. Примеры функций. 1. . Эта функция определена на всей числовой прямой . Областью изменения является полупрямая . 2. Областью определения является множество . Область изменения состоит из двух точек: 0 и 1. 3. 2. Предел функции по Гейне и по Коши. Пусть – бесконечное числовое множество. Точка бесконечной прямой называется предельной точкой множества , если в любой окрестности точки (т.е. в любом интервале ) имеются точки множества , отличные от точки . Замечание. Точка может, как принадлежать множеству , так и не принадлежать ему. Например, для интервала очевидно, является предельной точкой. Однако . Для сегмента точка является предельной точкой. В последнем случае . Пусть функция определена на множестве и точка предельная точкой этого множества. Предел функции по Гейне. Число называется пределом функции в точке , если для любой последовательности значений аргументов , сходящейся к , элементы которой отличны от соответствующая последовательность сходится к числу . Предел функции по Коши. Число называется пределом функции в точке , если для любого положительного числа найдётся положительное число , такое, что для всех значений аргумента , удовлетворяющих условию справедливо неравенство
Замечание. Отметим, что в определении предела функции по Гейне говорится, что элементы отличны от , а в определении предела по Коши, что . Эти требования вызваны тем, что функция может быть не определена в точке . Докажем теперь эквивалентность приведенных определений. Пусть является пределом функции по Коши. Возьмём произвольную последовательность элементов , отличных от и сходящихся к . Тогда для произвольного найдется такое положительное число что при всех значениях аргумента для которых выполнено неравенство будет выполнено . Так как последовательность сходится к , то для числа существует такой номер , что для всех номеров справедливо неравенство . Но для таких аргументов справедливо неравенство . Итак, для любого существует такой номер , что для всех номеров , выполняется Следовательно, число является пределом последовательности . Таким образом, если является пределом функции в точке по Коши, то является пределом функции и по Гейне. Докажем теперь обратное. Пусть - предел функции по Гейне. Предположим, что не является пределом функции по Коши. Тогда должно существовать такое положительное число , что для произвольного положительного числа , найдется, хотя бы одно значение аргумента , для которого , но . Возьмём последовательность , где . Для каждого должен существовать такой элемент , для которого выполнены неравенства: (2) и . (3). Из неравенства (2) следует, что последовательность сходится к и состоит из чисел, отличных от . Тогда по условию последовательность сходится к числу . В тоже время, из неравенства (3) следует, что последовательность не сходится к . Т.е. получаем противоречие, что вызвано предположением о том, что число не является пределом функции по Коши. Итак, эквивалентность приведенных определений доказана. 3. Односторонние пределы. Определение одностороннего предела по Гейне. Число называется правым (левым) пределом функции в точке , если для любой сходящейся к последовательности , элементы которой больше (меньше) , соответствующая последовательность сходится к числу . Обозначение . Определение одностороннего предела по Коши. Число называется правым (левым) пределом функции в точке , если для любого существует такое, что для всех , удовлетворяющих неравенствам выполняется неравенство . Повторяя рассуждения, приведенные в п.2, без особого труда, можно доказать эквивалентность приведенных определений. Рассмотрим в качестве примера функцию . Для этой функции имеем р так как, для любой сходящейся к последовательности , элементы которой больше имеем , а для любой сходящейся к последовательности , элементы которой меньше поэтому , . Теорема 4.1. Функция имеет в точке предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют как правый, так и левый пределы, и они равны. В этом случае предел функции равен односторонним пределам. Доказательство. Пусть . Тогда, согласно определению предела функции слева и справа, для любого существуют числа и , такие, что для всех , удовлетворяющих неравенствам и для всех , удовлетворяющих неравенствам справедливо неравенство . Пусть , тогда для всех , удовлетворяющих неравенствам будет выполнено хотя бы одно из двух неравенств (4) и (5), но при таких значениях верно неравенство (6). Итак, для любого положительного существует такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих неравенствам , выполнено неравенство . Т.е. является пределом функции в точке .
Обратно. Пусть . Тогда для любого , существует такое, что как только , справедливо неравенство . Следовательно, неравенство верно для всех , удовлетворяющих неравенствам и для всех , удовлетворяющих неравенствам . Но в таком случае, из определения левого и правого пределов следует, что и . Теорема 4.1 доказана. 4. Предел функции при и при . Предел функции при по Гейне. Число называется пределом функции при , если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу . Предел функции при по Коши. Число называется пределом функции при , если для любого положительного числа найдётся отвечающее ему положительное число такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству , справедливо неравенство . Предел функции при (при ) по Гейне. Число называется пределом функции при ( ), если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента , все элементы которой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность сходится к числу . Предел функции по Коши. Число называется пределом функции при ( ), если для любого существует число такое, что для всех значений аргумента , удовлетворяющих неравенству , справедливо неравенство . Для обозначения введённых выше пределов используется следующая символика: .
|
|||||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-07-18; просмотров: 50; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.138.33.87 (0.035 с.) |