Дифференцируемость обратной функции.

Теорема 2.2. Пусть функция  возрастает (убывает) и непрерывна в некоторой окрестности точки . Пусть, кроме того, эта функция дифференцируема в указанной точке , и её производная  в этой точке отлична от нуля. Тогда в некоторой окрестности точки  определена обратная для функции  функция , причём указанная обратная функция дифференцируема в точке  и справедлива формула

Доказательство. Т.к. функция  строго монотонна и непрерывна в некоторой окрестности данной точки , то в силу теоремы 5.8 главы 5 существует обратная функция , которая определена, строго монотонна и непрерывна в некоторой окрестности точки .

Придадим аргументу  обратной функции  в указанной точке , произвольное достаточно малое и отличное от нуля приращение . Этому приращению соответствует приращение

  обратной функции в соответствующей точке , причём в силу строгой монотонности обратной функции указанное приращение . Тогда мы можем записать

Перейдём к пределу в равенстве (7) при .

Заметим, что в силу непрерывности обратной функции  в точке , т.е.  при .

Для завершения доказательства теоремы 2.2 остаётся убедиться в том, что предел в правой части равенства (7) существует при  и, что этот предел равен .

Т.к. , , то  по определению обратной функции. Следовательно . Учитывая последнее равенство в равенстве (7), получим

Из этого равенства находим

Теорема доказана.

3. Инвариантность формы первого дифференциала.

Ниже будет доказано, что установленная в пункте 7 §1 главы 6 формула (10)  остаётся справедливым и в случае, когда аргумент  сам является дифференцируемой функцией вида  некоторой независимой переменной . Это свойство дифференциала функции называется свойством инвариантности формы первого дифференциала.

Пусть аргумент  дифференцируемой функции  является дифференцируемой функцией вида  некоторой независимой переменной . Тогда функцию  можно рассматривать как сложную функцию вида  аргумента . Так как, аргумент  является независимой переменной, то дифференциалы функций  и  представимы в виде

По правилу дифференцирования сложной функции находим

Подставляя равенство (10) в первое из равенств (9), получим . Учитывая в последнем равенстве второе из равенств (9), получим для дифференциала  выражение .

Инвариантность формы первого дифференциала  доказана.

Замечание. Из универсальности представления (11) вытекает другая, эквивалентная формулировка свойства инвариантности формы первого дифференциала: производная дифференцируемой функции  равна отношению дифференциала этой функции  к дифференциалу её аргумента , т.е.  как в случае, когда аргумент  является независимой переменной, так и в случае, когда аргумент  сам является дифференцируемой функцией вида  некоторой независимой переменной .

Отношение , стоящее в правой части равенства (12) может быть использовано для обозначения производной функции  по аргументу .