Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Глава 7. Теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения
Локальный экстремум функции. 1. Теорема Ферма. (Необходимое условие локального экстремума). Определение 1.1. Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции , если существует такая окрестность точки , что для любой точке справедливо неравенство . Если в определении 1.1 вместо неравенства требовать выполнение неравенства , то такая точка называется точкой строгого локального максимума (минимума) функции . Определение 1.1. (Теорема Ферма о необходимом условии локального экстремума). Пусть функция определена на интервале и пусть в точке локальный экстремум. Тогда если дифференцируема в , то . Если функция дифференцируема в точке и имеет в этой точке локальный экстремум, то . Доказательство. Рассмотрим случай, когда функция имеет в точке локальный максимум. Тогда существует такая окрестность точки , что , т.е. Т.к. функция дифференцируема в точке , то существуют правая и левая производные в точке , при этом По определению правой производной Т.к. , то , следовательно, из неравенства (1) имеем . Тогда такому неравенству удовлетворяет , т.е. . Рассмотрим теперь . Т.к. , то , тогда из неравенства (1) следует . Следовательно Итак, мы доказали, что и , что возможно только в случае . Аналогично рассматривается случай локального минимума. Теорема 1.1 доказана. Теорема 1.1 имеет простой геометрический смысл: если дифференцируемая в точке функция имеет в этой точке локальный экстремум, тогда касательная проведённая к графику функции в точке параллельна оси . Теорема Ролля. Теорема 1.2. Если функция непрерывна на сегменте и имеет производную во всех точках интервала , кроме того , то внутри сегмента найдётся такая точка , производная в которой равна нулю. Доказательство. Так как функция непрерывна на сегменте , то по второй теореме Вейерштрасса она достигает на сегменте своих наибольшего и наименьшего значений. Т.е. существуют такие точки , что . При этом Возможны два случая: 1. В первом случае . Поэтому производная функции равна нулю в любой точке , т.е. для этого случая теорема доказана. Во втором случае, т.к. , то хотя бы одно из двух значений или не принимается на концах сегмента , т.е. существует такая точка , в которой функция принимает наибольшее или наименьшее значение на интервале . Тогда по теореме 1.1 (теорема Ферма) . Теорема 1.2 доказана.
Теорема Ролля имеет простой геометрический смысл: если для непрерывной на сегменте и дифференцируемой на интервале функции, то на графике функции существует точка , в которой касательная к графику параллельна . Теорема Лагранжа. Теорема 1.3. Если функция непрерывна на сегменте и дифференцируема в каждой точке интервала , то существует такая точка , что Формула (4) называется формулой Лагранжа. Доказательство. Рассмотрим функцию , определённую на сегменте . Заметим, что для функции выполнены все условия теоремы Ролля. Действительно, функция непрерывна как разность непрерывных функций и . Функция дифференцируема в каждой точке интервала как разность указанных дифференцируемых на интервале функций. И, наконец, и , т.е. . Тогда по теореме Ролля существует точка , такая, что . Вычислим . Из равенства (6) следует, что или Теорема доказана. Теорема Лагранжа также имеет простой геометрический смысл. Прежде всего заметим, что величина является угловым коэффициентом секущей, проходящей через точки и кривой , а является угловым коэффициентом касательной, проведённой к графику функции в точке . В теореме Лагранжа утверждается, что между точками и найдётся точка , касательная в которой параллельна секущей . Теорема 1.4. Если функция дифференцируема в каждой точке интервала и если в каждой точке указанного интервала , то функция является постоянной на интервале . Доказательство. Рассмотрим произвольные две точки и интервала . Тогда , поэтому функция дифференцируема, а стало быть и непрерывна на сегменте . Тогда по теореме Лагранжа , где . Т.к. , то получим . Т.е. значения функции в произвольных точках и совпадают, т.е. . Теорема доказана. Теорема 1.4 имеет простой геометрический смысл: если касательная к графику функции проведённая в любой точке , где параллельна оси , то график функции представляет собой отрезок прямой, параллельной .
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2021-07-18; просмотров: 66; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.137.181.52 (0.01 с.) |