Точки перегиба графика функции.

Пусть функция  дифференцируема на интервале , а  – произвольная точка интервала . Предположим, что функция  имеет определённое направление выпуклости на каждом из интервалов  и .

Определение 5.2. Точка  графика функции  называется точкой перегиба этого графика, если существует такая окрестность точки , в пределах которой график функции  имеет разные направления выпуклости.

На рисунке изображён график функции, имеющей перегиб в точке .

Теорема 5.3. (Необходимое условие перегиба графика функции).

Если график функции  имеет перегиб в точке  и если функция  имеет непрерывную вторую производную в точке , то .

Доказательство. Предположим обратное, т.е. . Тогда  или . Рассмотрим случай , тогда по теореме 5.2 существует такая окрестность точки , в пределах которой график функции  имеет выпуклость, направленную вниз, что противоречит наличию перегиба графика функции в точке . Полученное противоречие доказывает теорему. Случай  рассматривается аналогично.

Теорема 5.4. (Первое достаточное условие перегиба)

Пусть функция  имеет вторую производную в некоторой окрестности точки  и . Тогда, если в пределах указанной окрестности вторая производная  имеет разные знаки слева и справа от точки , то график этой функции имеет перегиб в точке .

Доказательство. Т.к. вторая производная  имеет разные знаки слева и справа от точки , то, согласно теореме 5.1 график функции  имеет слева и справа от точки  разные направления выпуклости, что означает наличие перегиба у графика функции  в точке . Теорема доказана.

Теорема 5.5. (Второе достаточное условие перегиба).

Если функция  имеет в точке  конечную третью производную и удовлетворяет в этой точке условиям , то график этой функции имеет перегиб в точке .

Доказательство. Итак , . Для определённости будем считать, что . Тогда по определению производной третьего порядка

Т.к. , то

 

По предположению , поэтому такое, что для всех , для которых выполнены неравенства , справедливо неравенство . Пусть , тогда из неравенства (1) получим , т.е. вторая производная отрицательна слева от точки . Пусть теперь , тогда из неравенства (1) получим , т.е. вторая производная положительна справа от точки .

Итак, вторая производная  имеет разные знаки слева и справа от точки . При этом

. Тогда по теореме 5.4 график функции  имеет перегиб в точке . Аналогично рассматривается случай . Теорема 5.5 доказана.

Асимптоты графика функции.

Определение 6.1. Будем говорить, что прямая  является вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один из пределов  или  равен  или .

Пример. График функции  имеет вертикальную асимптоту , т.к. ,

.

Определение 6.2. Прямая  называется наклонной асимптотой графика функции  при , если функция  представима в виде

где .

Теорема 6.1. Для того, чтобы прямая  была наклонной асимптотой графика функции при  необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие равенства:

Доказательство. Необходимость.

Пусть прямая  является наклонной асимптотой графика функции  при . Тогда функция  представима в виде

, где . Поделим обе части равенства (1) на  и перейдём к пределу в полученном равенстве при , получим

Рассмотрим теперь предел

Достаточность.

Пусть выполнены равенства (2). Тогда из существования предела  следует, что разность  является бесконечно малой при . Обозначив эту бесконечно малую функцию , получим для функции  представление (1). Теорема доказана.

В заключение данного параграфа приведём схему исследования графика функции.

Целесообразно провести следующие исследования.

1. Установить область определения функции.

2. Выяснить вопрос о существовании асимптот (вертикальных и наклонных)

3. Найти области возрастания и убывания функции и точки экстремума.

4. Найти области сохранения выпуклости и точки перегиба.

5. Найти точки пересечения графика функции с осями  и .

После проведения указанных исследований легко строится эскиз графика функции.
§7. Глобальные максимум и минимум функции на сегменте.

Пусть функция  непрерывна на сегменте , тогда в силу второй теоремы Вейерштрасса существуют точки  и  сегмента  такие, что .

Иными словами функция  достигает в точке  своего глобального максимума, а в точке  - глобального минимума.

Естественно возникает вопрос: как найти точки глобального максимума и глобального минимума  и .

Приведём описание процесса нахождения глобального максимума  и соответствующей точки .

Пусть  - какая-то точка глобального максимума. Указанная точка либо находится внутри сегмента ? Либо совпадает с одной из точек  и . Если  находится внутри сегмента , то она совпадает с одной из точек локального максимума функции / Предположим, что внутри сегмента  существует конечное множество точек локального максимума функции , пусть эти точки . Тогда число  будет совпадать с числом . В качестве точки  можно взять тут точку из множества , в которой соответствующее значение функции будет наибольшим. Аналогично находится число  и соответствующая точка .