Существование первообразной у любой непрерывной функции.

В данном параграфе мы будем рассматривать интеграл вида , где подынтегральная функция  определена и интегрируема на некотором сегменте , а  - произвольная точка сегмента , т.е. . В указанных предположениях мы можем рассмотреть функцию

определённую в каждой точке  сегмента .

Справедлива следующая теорема 3.1. Пусть функция  непрерывна на сегменте , тогда функция , определённая равенством (1) дифференцируема в каждой точке  сегмента , при этом

Доказательство. По определению производной функции

Согласно формуле среднего значения

где

Учитывая равенство (4) в равенстве (3), получим

Пользуясь непрерывностью функции  в точке  и тем, что , из равенства (6) получим . Теорема 1.1 доказана.

Замечание. В теореме 1.1 мы доказали, что  является одной из первообразных непрерывной на сегменте  функции . Тогда любая первообразная функции  будет иметь вид .

Основная формула интегрального исчисления.

Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть функция  непрерывна на сегменте , тогда для любой точки , функция

является одной из первообразных функции . В частности, взяв в качестве точки  точку , получим, что и функция  является первообразной функции .

Теорема 4.1. Пусть функция  непрерывна на сегменте  и  - любая первообразная функции  на этом сегменте, тогда

Доказательство. Т.к.  является одной из первообразных функции  на сегменте , a  – любая первообразная функции  на этом же сегменте, то по теореме 1.1 §1 главы 8, функция  имеет вид , где  - некоторая постоянная. Пользуясь равенством (2), вычислим .

Тем самым справедливость формулы (1) доказана.

Формула (1) называется формулой Ньютона-Лейбница. Пользуясь обозначением

формулу Ньютона-Лейбница можно записать в виде

Замена переменной в определённом интеграле.

Теорема 4.2. Пусть функция  непрерывна на сегменте , а функция  дифференцируема на сегменте , причём производная  непрерывна в каждой точке сегмента . Пусть множеством значений функции  является сегмент  и при этом

, тогда справедлива следующая формула

Доказательство. Пусть  – какая-нибудь первообразная функции  на сегменте , тогда по формуле Ньютона-Лейбница

Рассмотрим функцию , определённую на сегменте . Согласно правилу дифференцирования сложной функции, её производная равна

Следовательно функция  является первообразной для непрерывной на сегменте  функции , поэтому согласно формуле Ньютона-Лейбница

Согласно формуле (5), правая часть последнего равенства равна  . Следовательно справедливость формулы (4) и теоремы 4.2 доказана.