Интегральная сумма и её предел.

Рассмотрим функцию , определённую на сегменте . Пусть  произвольное конечное множество сегмента , удовлетворяющее условиям

Множество точек , удовлетворяющих условиям (1) называется разбиением сегмента . Сегмент  называется -м частичным сегментом. Длину -го частичного сегмента обозначим через , т.е. . Пусть  – произвольная точка, принадлежащая -му частичному сегменту .

Составим для заданной функции  и заданного разбиения (1) следующую сумму:

называемую интегральной суммой функции на сегменте , отвечающей данному разбиению (1) сегмента  и данному выбору точек .

Обозначим через  наибольшую длину частичных сегментов данного разбиения сегмента , т.е. .

Определение 1.1. Число  называется пределом интегральных сумм (2) при стремлении к нулю наибольшей длины  частичных сегментов, если для любого положительного числа  найдётся зависящее от  положительное число  такое, что для всех разбиений сегмента  независимо от выбора точек , из неравенства  следует неравенство

Определение 1.2. Функция  называется интегрируемой на сегменте , если существует конечный предел

При этом указанный предел  называется определённым интегралом от функции  по сегменту  и обозначается символом

В этом обозначении функция  называется подынтегральной функцией, число  – нижним пределом интегрирования, а число  – верхним пределом интегрирования.

Из определения следует, что определённый интеграл зависит только от функции  и пределов интегрирования  и  и не зависит от выбора обозначения аргумента интегрирования, т.е.

Верхние и нижние суммы.

Пусть функция  определена и ограничена на сегменте . Тогда для произвольного разбиения (1), функция  ограничена на каждом частичном сегменте . Обозначим через  и  соответственно точную верхнюю и точную нижнюю грани функции  на частичном сегменте . Из ограниченности функции  на сегменте  следует, что для каждого частичного сегмента существуют конечные числа  и .

Для произвольного разбиения (1) сегмента  рассмотрим следующие суммы:

Сумма (3) называется верхней суммой, отвечающей разбиению (1), а сумма (4) – нижней суммой, отвечающей этому разбиению.

Справедлива следующая теорема:

Теорема 1.1. Для того, чтобы ограниченная на сегменте  функция  была интегрируема на этом сегменте, необходимо и достаточно, чтобы для любого  существовало зависящее от  положительное число , такое, что для любого разбиения сегмента ? У которого наибольшая длина  частичных сегментов меньше , выполнялось неравенство

где  и  – верхняя и нижняя суммы, указанные в равенстве (3) и (4).

Теорема 1.1 приводится без доказательства.

Сформулируем также несколько теорем, доказательства которых приводить не будем.

Теорема 1.2. Если функция  непрерывна на сегменте , то она интегрируема на указанном сегменте.

Теорема 1.3. Если функция  интегрируема на сегменте , то интегрируема на указанном сегменте и функция .

Необходимое условие интегрируемости.

Теорема 1.4. Если функция  интегрируема на сегменте , то она ограничена на указанном сегменте.

Замечание 1. Условие ограниченности функции на сегменте  является необходимым, но не достаточным условием интегрируемости данной функции на сегменте .

Действительно, рассмотрим функцию , определённую на сегменте

Функция , определённая равенством (5) называется функцией Дирихле.

Очевидно, что для любого разбиения сегмента  функция Дирихле ограничена на каждом частичном сегменте, при этом . Поэтому

Итак, , тогда из теоремы 1.1 мы заключаем, что функция Дирихле не интегрируема на сегменте .

Замечание к теореме 1.3. Из интегрируемости функции  не следует интегрируемость функции .

Действительно, очевидно, что модуль функции Дирихле тождественно равен 1 на сегменте . Следовательно  интегрируема на сегменте . Однако функция ? Как уже убедились, не интегрируема на сегменте .